- •Раздел 1. Фильтрация помех при моделировании
- •Раздел 1. Фильтрация помех при моделировании
- •1.1 Алгоритм разложения сигнала по неортогональному базису
- •1.2. О сходимости разложений
- •1.3. Разложение дискретных функций
- •Экспериментальные данные обычно являются дискретными
- •Функциями времени, то есть представляют собой набор
- •Отсчетов:
- •1.4. Фильтрующие свойства разложений
- •1.5. Оценка уровня помех в обрабатываемой реализации
- •1.6. Оценка погрешностей разложения
- •1.8 Оценка погрешностей разложения методом статистического моделирования
- •Раздел 2. Моделирование непрерывных систем
- •2.1. Цифровое моделирование непрерывных динамических систем
- •2.1.1 Методы цифрового моделирования
- •2.1.2. Численное решение линейных дифференциальных уравнений методом разложения в ряд Тейлора
- •2.1.3. Выражение ошибки численного решения через изменения коэффициентов дифференциального уравнения
- •2.1.4. Выражение ошибки численного решения через изменение корней характеристического уравнения
- •2.1.5. Устойчивость численного решения
- •2.1.6. Повышение точности численного решения методом коррекции уравнений движения
- •2.2. Погрешности аналогового моделирования
- •2.2.1. Особенности аналоговой вычислительной техники
- •2.2.2. Взаимосвязь приращений корней и коэффициентов характеристического уравнения
- •2.2.3. Влияние аналогового интегратора на корни характеристического уравнения
- •2.3. Погрешности полунатурного моделирования
- •Упражнения
- •Литература
2.2. Погрешности аналогового моделирования
2.2.1. Особенности аналоговой вычислительной техники
В аналоговых вычислительных машинах (АВМ) каждая переменная величина из решаемой системы дифференциальных уравнений представляется (моделируется) напряжением на соотвтствующем блоке [2.7]. Каждый блок –это решающее устройство, выполняющее свою математическую операцию одновременно с другими блоками, то-есть параллельно во времени. Основой решающего блока является операционный усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления и глубокой отрицательной обратной связью. Основными решающими блоками являются сумматор и интегратор. Отрицательная обратная связь сумматора осуществляется через активное сопротивление, интегратора – через конденсатор. Стабильность коэффициентов передачи решающих блоков, а вместе с тем и точность выполнения математических операций, зависит от качества используемых сопротивлений и конденсаторов, и не может быть высокой. Изучение влияния погрешностей выполнения операций суммирования и интегрирования на точность решения дифференциальных уравнений рассмотрим на примере уравнения n – ного порядка:
xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x^ + a0x = f(t) (2.2.1)
2.2.2. Взаимосвязь приращений корней и коэффициентов характеристического уравнения
Динамические свойства системы, описываемой уравнением (1), в большой степени определяются корнями характеристического уравнения:
P(p,ak) = pn + an-1pn-1 + an-2pn-2 +…+ a1p + a0 = 0 (2.2.2)
При решении уравнения (1) на аналоговой модели погрешности коэффициентов передачи решающих блоков формируют погрешности выставки коэффициентов уравнения (1), а вместе с тем и погрешности в коэффициентах характеристического уравнения (2). Это, в свою очередь, приводит к изменению корней характеристического уравнения, то – есть к изменению динамических свойств моделируемой системы. Для выяснения влияния погрешности выставки параметров аналоговой модели на изменение динамических свойств найдем зависимость малых приращений корней от малых приращений коэффициентов [2.8]. При известных корнях, характеристическое уравнение (2) можно представить ввиде произведения:
P(p,pj) = (p-p1)(p-p2)…(p-pn) = 0 (2.2.3)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p в (2) и (3), получим формулы Виета, выражающие коэффициенты характеристического уравнения через его корни :
an-1 = -(p1+p2…+pn)
an-2 = (p1p2+p1p3+…pn-1pn) (2.2.4)
……………………………
a0 = (-1)np1p2…pn
Обратных прямых выражений корней через коэффициенты в общем случае не существует, однако для малых приращений они могут быть получены. Для этого возьмем полные дифференциалы по параметрам ak и pj от выражений (2) и (3) соответственно:
dP(p,ak) ===
= da0+pda1+…+pn-1 dan-1 (2.2.5)
dP(p,pj) == -(2.2.6)
Для обеспечения равенства полиномов (5) и (6) при любых p
dP(p,ak) = dP(p,pj) (2.2.7)
необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось при n различных значений p. В качестве этих значений удобно выбрать p = pk , k = 1…n. Подставив эти значения в выражение (7) с учетом (5) и (6) получим :
dpk= - (da0+da1 pk+…+pkn-1 dan-1 )/(pk-p1)…
(pk-pk-1)(pk-pk+1)…(pk-pn), k =1,2,…n. (2.2.8)
Таким образом, по формулам Виета (4) можно выразить коэффициенты характеристического уравнения через его корни, а с помощью соотношений (8) - приращения корней через приращения коэффициентов. Последнее позволяет проверить пригодность АВМ для решения определенной задачи.