2. Инварианты системы тел. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

3. Главный вектор R=∑F_i=const.

4. Скалярное произведение главного вектора и главного момента L_OR=const=F_xM_x+F_yM_y+F_zM_z.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

M_O1R=M_OR+(O₁OxR)R Пр_R(L_O1)= Пр_R(L_O)= L_O1R∙ ∙cos(L_O1^R)=L_O2Rcos(L_O2^R).

L_O1xR_x+L_O1yR_y+L_O1zR_z=L_O2xR_x+L_O2yR_y+L_O2zR_z

Приведение к простейшему виду:

4. M_O=0,R0к равнодействующей, равнойR, проходящей через О.

5. R=0,M_O0к паре с моментомM_O (независимо от О).

R0,M_O0,M_O┴ R  к равнодействующей, равнойR, проходящей через О₁: ОО₁=d= |M_O| / |R|. Доказательство:Rи пара сил с моментомM_Oлежат в одной плоскости

 силы RиR” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующейR’.

6. M_OR0,R0,M_O0,Rне перпендикулярнаM_O– приводится к динаме.

Доказательство: Разложим M_Oна 2 составляющих:M₁и M₂.M₂представим в виде пары силR’ иR”. СилыR иR” уравновешиваются, аM₁перенесем в точкуO₁(свободы).

В результате получили винт R’, M₁, проходящий через точку О₁.

Прямая, проходящая через точку О₁– ось динамы.

Билет №28.

1. Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки.

2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.

1. Теорема о проекциях двух точек на линию, соединяющую эти точки.

При любом движении проекции двух точек на линию, их соединяющую, равны.

Док-во: r_B=r_A+AB => dr_B/dt=dr_A/dt+dAB/dt, ноdAB/dt┴AB. Проецируем на линию АВ, учитывая, чтоdAB/dt┴AB:

Пр_АВ(v_B)=Пр_АВ(v)_A+0.

2. Главный вектор, момент.

Пусть дана система сил (F₁,F₂,…,F_n).

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

R=∑F_k.

R_x=∑F_kx;cos(x,R)= R_x/R;

R_y=∑F_ky; cos(y,R)= R_y/R;

R_z=∑F_kz; cos(z,R)= R_z/R;

Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).

L_x=∑M_x(F_k)

Билет №29.

1. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

V_A=ω×r_A. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.

i j k

V_M=ω×r_M= ω_x ω_y ω_z

X_M Y_M Z_M

X/ω_x=Y/ω_y=Z/ω_z– мгновенная ось вращения.

a_A=dv/dt=dω/dt×r_A+ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×v_A=a_A^вр+a_A^ос.

a_A^вр= ε×r_A– вращательное ускорение точки.

a_A^ос= ω×v_A– осестремительное ускорение точки.

Формула Ривальса: a_A^oc=ωv_Asin(ω,v_A).a_врнаправлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε кrвиден против часовой стрелки.

a_врнаправлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).

2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы Fотносительно осиzравен проекции на эту ось вектора момента силыF относительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силыFотносительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол между M_O(F) и осьюzравен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα=>M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №30.

1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.

2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.