- •Курс лекций по курсу «Численные методы механики жидкости и газа» Содержание
- •Лекция №1. Введение
- •Исторический обзор
- •Применение в области двс
- •Современный уровень
- •Используемые программы
- •Лекция №2. Базовые уравнения и модели газа
- •Лекция №3. Основы численных методов
- •Мкч с использованием представления о наклонных секущих
- •Лекция №6. Метод Распада Произвольного Разрыва (Линеаризованный)
- •Лекция №7. Метод Распада Произвольного Разрыва (Не линеаризованный)
- •Варианты течения газа при решении задачи о распаде произвольного разрыва
- •Основные соотношения
- •Условия выбора шага по времени и по координате
- •Лекция №8. Метод Контрольных Объемов
- •Структурированные сетки
- •Адаптивные сетки
- •Сеточная вязкость
- •Лекция №10. Начальные и граничные условия
- •Гу втекания и истечения
- •Периодические гу
- •Гу твердой стенки. Проскальзывание и прилипание
- •Гу на подвижной твердой стенке
- •Лекция №11. Турбулентность Физические основы
- •Rans. Осреднение по Рейнольдсу, модели турбулентности
- •Гипотеза Буссинеска
- •Модели турбулентности
- •Лекция №14. Метод разделяющей линии тока
Основные соотношения
На контактном разрыве резко изменяются плотность и внутренняя энергия е. Эти значения слева от контактного разрыва обозначим RIи EI, справа – RIIи EII. В областях I и II они постоянны. Внутри области, которую занимает волна разрежения, параметры течения вдоль лучей, выходящих из точки 0 и служащих характеристиками уравнений (1) – (3), не изменяются. При переходе от одной характеристики к другой параметры изменяются в соответствии с условиями непрерывности римановских инвариантов:
, (12)
где – скорость звука.
Квадратными скобками обозначена разность соответствующих значений на рассматриваемой характеристике. Знак “+” принимается для левой волны разрежения, распространяющейся в зону 1, “–” – для правой волны разрежения, распространяющейся в зону 2.
Формулы для левой и правой волн разрежения записываются следующим образом:
;
. (13)
Для ударной волны должны выполняться соотношения Гюгонио. Для левой и правой ударных волн эти зависимости имеют вид:
;
, (14)
где
;
.
Плотность
, (15)
где R, P – плотность и давление за ударной волной в областях I или II; , p – соответствующие значения в зонах 1 или 2.
Зная параметры p1,1, u1 и p2,2, u2из соотношений (13) и (14) можно определить значения P и U, учитывая, что значения P и U не рвутся на контактном разрыве. Зная P, можно определить плотности RIи RII. Однако при решении системы уравнений возникают некоторые трудности. Первая трудность заключается в том, что в общем случае заранее неясно, какая из изображенных на рис. 3 ситуаций в действительности реализуется и какие уравнения нужно положить в основу расчета. Вторая трудность связана с тем, что уравнения (13) и (14) нелинейны относительно P. Поэтому необходимо выбрать итерационный процесс для решения приведенных уравнений.
Исключим из уравнений (13) и (14) величину U и получим уравнение относительно P, которое записывается следующим образом:
, (16)
где при ударной волне
;
при волне разрежения
.
Рассмотрим случай, при котором (в случаеможно изменить направление отсчета по оси х, что равносильно изменению индексов).
Вычислим значения функции F(P):
;
;
.
Если u1– u2> Uуд, то F(P) > F(p2). Это значит, чтои, следовательно, влево и вправо распространяются ударные волны.
Если Uраз< u1– u2< Uуд, то F(p1) < F(P) < F(p2) и p1< P < p2. Это значит, что влево распространяется ударная волна, вправо – волна разрежения.
Если Uвак < u1– u2< Uраз, то P < p1< p2, следовательно, влево и вправо распространяются волны разрежения.
При возникает область вакуума, в которой P = 0, R = 0.
Выполнив такой анализ, можно записать конкретный вид уравнения (16) и приступить к его численному решению. Когда влево и вправо распространяются волны разрежения, уравнение (16) решается в виде
.
В остальных двух случаях значение P определяется в результате итераций. Для этого можно воспользоваться итерационным процессом, в основу которого положен метод касательных.
По известному i-му приближению (p(i)) (i+1)-е приближение находится по формуле
,
где функция f определяется из выражения (16);
при
;
при P < p1,2
.
В качестве начального приближения в расчетах принимают P(0) = p1. После окончания итераций скорость U вычисляется по формуле, полученной из соотношений (12) и (13).
,
где при
;
при P < p1,2
.
Далее по формуле (15) вычисляется плотность в областях I и II. На этом решение задачи о распаде произвольного разрыва заканчивается. Теперь необходимо найти параметры течения, которые соответствуют лучу с координатой х = 0. Для этого нужно определить скорости, с которыми распространяются разрывы (ударные волны и волны разрежения).
Скорости распространения ударной волны влево и вправо:
;
.
Для волн разрежения необходимо вычислить скорости крайних характеристик:
где
Выражения для скоростей звука в области I и– в области II получены из формул (12). Скорость контактного разрыва равна вычисленному значению U. После решения задачи о распаде произвольного разрыва известно, какая из ситуаций, изображенных на рис. 3, осуществляется в действительности и, следовательно, можно определить, в какой из областей 1, I, II и 2 находится луч с х = 0. Если этот луч находится в области 1, то есть скорость левой крайней характеристики или левой ударной волны больше нуля, то un= u1, pn = p1,n=1. Если луч х = 0 находится в области I, при этом U > 0, un= U, pn = P,n= RI. Когда U < 0 и скорости правых разрывов больше 0, то есть луч находится в области II, имеем un= U, pn= P,n= RII. Наконец, когда скорости крайней правой характеристики или правой ударной волны меньше нуля, то un= u2, pn = p2,n=2.
При волнах разрежения возможны ситуации, когда луч попадает внутрь волны разрежения. Если этот луч попадает внутрь левой волны разрежения, то D1< 0 и. Если же луч х = 0 находится внутри правой волны разрежения, то D2> 0 и. В этом случае необходимо сделать дополнительные вычисления.
При u1– c1< 0 и U – c1>0 искомые значения соответствуют характеристике, для которой;
При u2+ c2> 0 ианалогично имеем