Лекция №7. Метод Распада Произвольного Разрыва (Не линеаризованный)

Чтобы определить газодинамические параметры течения газа на новом временном слое, необходимо вычислить потоки массы, импульса и энергии через границы ячейки, то есть определить u_n,_n, p_nи u_n+1,_n+1, p_n+1. Эти величины находятся при решении задачи о распаде произвольного разрыва. Такая задача предполагает наличие двух бесконечных областей газа, в каждой из которых газ в начальный момент времени находится при постоянных, но совершенно произвольных параметрах. При соприкосновении этих газов в зависимости от значений этих параметров возникают различные схемы течений, каждая из которых рассчитывается по-своему.

Пусть в момент времени t = 0 имеем начальные условия:

при x < 0 u = u₁, p = p₁,=₁ ;

при x > 0 u = u₂, p = p₂,=₂ ; (11)

Требуется рассчитать параметры газа при t > 0, удовлетворяющие уравнениям газовой динамики (1) – (4) и определенным начальным условиям.

В основу анализа возникающих течений и получения расчетных формул положено свойство автомодельности уравнений и начальных условий. Изменение параметров течения при распаде разрыва зависит только от переменной , где. На плоскости x-t конфигурации течений представляются в виде областей, разделяемых прямыми лучами, выходящими из точки 0. При этом границами течений могут быть ударная волна, контактный разрыв и волна разрежения.

Построение автомодельного решения задачи о распаде разрыва состоит в “склеивании” элементарных решений и определении параметров, характеризующих эти решения и разрывы. Эта задача является чисто алгебраической.

При p₁> p₂для каждой массы газа контактную границу можно рассматривать как поршень. И если задаться постоянной (вследствие автомодельности) скоростью U поршня, то задача однозначно решается для каждого из газов в отдельности. Чтобы получить решение задачи о распаде произвольного разрыва необходимо “сшить” решения этих двух задач о поршне, потребовав, чтобы на контактной границе давление слева равнялось давлению справа. Из этого условия определится скорость U контактной границы и все параметры, определяющие движение.

Варианты течения газа при решении задачи о распаде произвольного разрыва

Рис. 3. Варианты течения газа при решении задачи о распаде произвольного разрыва:

а – ударные волны распространяются влево и вправо; б – влево распространяется волна разрежения, вправо – ударная; в – влево распространяется ударная волна, вправо – волна разрежения; г – влево и вправо распространяются волны разрежения; д – между волнами разрежения образуется область вакуума.

На рис. 3 изображены возможные схемы течений. Слева и справа от точки 0 имеем постоянные параметры, p1, 1, u1 и p2,2, u2. Далее на границе, которой может служить ударная волна или волна разрежения, параметры течения изменяются. При этом изменяются давление и скорость до значений P, U, которые остаются постоянными на контактном разрыве КР во внутренних областях I и II. Контактный разрыв располагается между ударными волнами (рис. 3, а), между ударной волной и волной разрежения (рис. 3, б, в), между двумя волнами разрежения (рис. 3, г). Вариант, изображенный на рис. 3, д, соответствует предельному случаю, когда влево и вправо распространяются волны разрежения и за ними образуется вакуум. В этом случае контактный разрыв отсутствует.