Лекция №14. Метод разделяющей линии тока

Рассматривая отрывные течения через МС можно отметить, что струя около зоны отрыва всегда имеет некоторое значение минимального проходного сечения F_m, после которого происходит расширение ее границ с последующим присоединением к стенкам канала (F_Т). В этом смысле все отрывные потоки на участке расширения струй подобны рассмотренной схеме течения с внезапным расширением.

Возвратимся к насадку Борда (рис.1) сначала для случая течения с ρ = const. Определим соотношение площадей, при котором внезапное расшире-ние даст требуемые для насадка потериς = 1 (11). В соответствии с (99)должно получиться,т.е.струя должна иметь двойное сужение по отношению к сечению F_Т трубы.

1.Важно отметить, что и давление р′ в отрывных зонах, окружающих струю, должно быть строго равно давлению р_m в минимальном сечении. Это условие является единственно возможным для существования устойчивой конфигурации струйного отрывного течения. Иначе, например, при отклонении в сторону увеличения, т.е.р_m > р′, возникает нормальная к потоку силаR(рис.19, а), стремящаяся расширить, увеличить сечениеF_m, а увеличение сечения потока, как известно, приводит к дальнейшему увеличению давленияр_m, ростуRи увеличениюF_m. Таким образом, такое предположение не обеспечит устойчивую конфигурацию потока. Устойчивости не будет и при р_m <р′, поскольку на струю со стороны отрывной зоны начнет действовать направленная вниз силаR, стремящаяся сузить сечениеF_m (рис.19, а). Это привело бы к дальнейшему уменьшениюр_m и к еще большему уходу от равновесия. Напомним, что равенство давленийр_m = р′, известное из практики, и было заложено при записи уравнения импульсов (93) внезапного расширения.

Рис.19. К силовому равновесию около отрывной зоны

Но тогда отсюда возникает и положение 2 о том, что все потери при отрывном течении сосредоточены на участке расширения границ струи, т.е. от F_m до F_Т, и (99) , а на участке сужения потери полностью отсутствуют.

Докажем это методом от противного. Рассмотрим схему течения в насадке Борда с выделение минимального сечения около зоны отрыва (рис.20). Запишем уравнение импульсов для контура АB′C′D′E′H, проходящего через отрыв в проекции на осевое направление (аналог уравнения 9). Но с учетом того, что во всем сеченииC′D′внутри трубы, где есть отрыв, давление равнор_m , т.е. давление в минимальном сечении струи равно давлению в отрывной зоне,р_m = р′:

Рис.20. К расчету течения во входной части насадка Борда

(110) или, с учетом u_а= 0,,

. (111)

Так как есть предположение об отсутствии потерь на участке до сечения C′D′, соответствующее уравнение энергии будет аналогично (13):

. (112)

Приравняв (111) и (112), получим

, (113)

т.е. сужение струи при отсутствии потерь составляет половину сечения трубы, значит, действительно, все потери сосредоточены на участке расширения.

Рассмотрим случай сжимаемого газа.

Запишем уравнения импульсов для участка сужения, которые вместо (102) и (103) будут иметь вид

; (114)

. (115)

Учитывая (104), левую часть можно записать с использованием функции z(λ_Т),тогда

. (116)

Заменим Ga_крcпомощью (53),

. (117)

Отсюда можно выразить возможное значение потерь на участке сужения с помощью коэффициента σ_a-mпотерь полного давления:

. (118)

Поскольку известно, что полные потери в насадке Борда оцениваются зависимостью (71) , где по (57), с учетом обозначенияможно записать:

. (119)

Но, в соответствии со (108) для участка расширения уже имеем ,

тогда получается σ_a-m= 1, Т.е. мы доказали, чтона участке сужения потерь вообще нет, все потери сосредоточены на участке расширения струи.

Изображая схемы отрывного течения, мы наносили границы, разделяющие струйное течение с некоторым минимальным проходным сечением F_m («живым» сечением) и отрывные зоны около него. Мы показали, что при отрывном течении через МС расчетную схему можно представить в виде двух областей: области сужения потока до минимального проходного сеченияF_m, где потерь нет, и области расширения от этого минимального сечения до сечения присоединенияF_Т. И именно в области расширения сосредоточены все потери, соответствующие потерям внезапного расширения. Т.е. они могут быть определены по теореме Борда (99) для несжимаемой жидкости или с помощью соотношений (105), (108) для сжимаемого потока.

Метод расчета отрывного течения, при котором вначале с учетом отсутствия потерь определяется значение минимального проходного сечения, а затем потери и действительный расход определяются с помощью соотношений внезапного расширения, называется методом разделяющей линии тока (МРЛТ).

Для определения F_mили соответствующего отношения проходных сечений в МС используются два способа: или для участка сужения струи записывается уравнение импульсов (если это возможно по условиям конфигурации МС), или обрабатываются результаты экспериментальных продувок.

Применение МРЛТ для расчета отрывного течения

через выпускное окно

Рассмотрим МС типа «выпускное окно» двухтактного двигателя, когда поршень находится в НМТ (рис.21).

Рис.21. К расчету отрыва в выпускном окне

Частицы газа, идущие к окну по поверхности головки поршня, не меняют своего направления. А частицы, идущие к окну по вертикальной стенке цилиндра, должны изменить направление. Поскольку они обладают инерцией, в целом выходящий поток будет сужаться, достигая некоторого минимального проходного сечения F_m. Во входном сечении окна F₁ имеет место некоторая среднерасходная скорость u₁, вектор которой имеет наклон к сечению окна под некоторым углом b₁. В соответствии с положениями МРЛТ рассмотрим сначала область сужения струи. Тогда уравнение неразрывности для струи можно записать в виде

. (120)

Поскольку давление в отрывной зонеp′ должно быть равно давлению в минимальном сечении струи (p′ = p_m), уравнение импульсов в проекции на направление потока в минимальном сечении имеет вид:

. (121)

При этом фактически рассматривается прямоугольный контур, правая верхняя точка m′которого как бы «подвешена» внутри отрывной зоны.

Потери на участке сужения отсутствуют, поэтому для уравнения энергии:

. (122)

Приравняв разность давлений (р₁-р_m), выраженную с помощью (121) и (122), заменим с по­мощью (120) отношение скоростей:

и получим квадратное уравнение относительно F₁/F_m:

.

Решая его с учетом обозначения (1) степени сужения потока около отрывной зоны ε =F_m/F₁, получим

. (123)

На участке расширения струи от F_mдоF_Т, сосредоточены все потери отрывного течения, выражаемые формулой (99). Подставляя в нее (123), получим:

. (124)

Участок расширения независим от участка сужения в том смысле, что сечение F_Т присоединения потока может быть совершенно произвольным.

Главное достоинство МРЛТ вытекает из возможности разделения отрывного течения на две независимые зоны: зоны сужения потока без потерь и зоны расширения, где сосредоточены все потери. В результате можно рассматривать сложные конфигурации МС, когда площадь входа не равна площади выхода (F₁ ≠ F_Т). Т.е. когда нет возможности записать уравнение импульсов для контура, охватывающего весь отрывной поток.

Для окна в случае бесступенчатого канала (F₁=F_Т) выражение потерь, вытекающее из (124) будет совсем простым:

. (125)

В этом случае, очевидно, все необходимые уравнения можно записать и для всего контура от F₁доF_Тсразу. Можно убедиться, что получится тот же результат (125).

Применение формул (124) и (125) требует знания угла β₁. Он определяется с помощью гидродинамики несжимаемой жидкости, использующей теорию функций комплексного переменного (ТФКП). Для полностью открытого окна он составляет 63,22^о.

Для расчета потерь при промежуточных открытиях окна (рис.22) применяется формула

. (126)

Рис.22. Схема истечения из окна при промежуточных открытиях

В данном общем случае значения углов β₁ иβ_mбудут переменными, т.е зависимыми от величины относительного хода открытия окнаh/H (h– текущий ход,H– максимальный ход открытия окна). Второй уголβ_m, это угол, под которым поток проходит через сечение наибольшего сужения. Очевидно, в данном случае вектор скорости в данном сечении не будет параллелен нижней стенке канала.

С помощью ТФКП получены необходимые функциональные зависимости:

[^о]; (127)

[^о]. (128)

После расчета потерь остается определить действительный расход истечения через окно:

,

где ,р_с– давление в цилиндре.

91