Rans. Осреднение по Рейнольдсу, модели турбулентности

• Алексин. Математические модели турбулентных течений, 5 7. Произведение трех величин

Гипотеза Буссинеска

• Лапин - «Алгебраические модели турбулентности для пристенных канонических течений (немного истории и некоторые новые результаты)»: Согласно гипотезе Буссинеска турбулентное касательное напряжение τ_Tсвязано со скоростью сдвига соотношением:в котором через ν_Tобозначен так называемый кинематический коэффициент турбулентной вязкости. Формула Буссинеска сама по себе не решает проблему определения связи между τ_Tи осредненными характеристиками потока, а лишь переводит ее на уровень коэффициента турбулентной вязкости ν_T. Однако важное значение этой формулы состоит в том, что она указывает на "сдвиговое" происхождение турбулентного напряжения τ_T: при отсутствии сдвига, то есть при ∂u/∂y = 0 , τ_Tобращается в ноль.Очевидно, что гипотеза Буссинеска справедлива не для всех турбулентных течений и, в частности, не описывает эффектов памяти и анизотропию рейнольдсовых напряжений.

Модели турбулентности

• Оран 508-509

k-ε модель

• Versteeg, 67-75

• Кавтарадзе – Теория поршневых двигателей. Специальные главы. 2008 стр. 578-586

DNS. Прямое численное моделирование

• Прямое численное моделирование подразумевает использование чрезвычайно мелкой сетки и малого шага по времени для прямого отражения самых мелких пульсаций вплоть до колмогоровского масштаба (т.е. масштаба на котором происходит диссипация кинетической энергии в тепловую)

• При этом необходимое число ячеек пропорционально числу Рейнольдса в степени 9/4

• Подобные расчеты чрезвычайно ресурсоемки и в инженерной практике практически не применяются

LES. Модель крупных вихрей

• Wilcox, 322

• Производительность модели крупных вихрей превышает прямое численное моделирование в 10-20 раз (Wilcox, 323)

• Blazek, 248 и далее (на английском)

Лекция №12. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Общая характеристика методов

Демидович - Основы вычислительной математики. 1966

стр. 268

Метод прогонки

• Синонимы: Алгоритм Томаса, TDMA(Tri-diagonal-MatrixAlgorithm)

• Представляет собой стандартный метод исключения Гаусса примененный к матрице с тремя ненулевыми диагоналями

• Позволяет получить решение системы уравнений без итераций в два захода

• Патанкар, 46

Метод итерации

Демидович - Основы вычислительной математики. 1966

стр. 294-296

Метод Зейделя

Демидович - Основы вычислительной математики. 1966

стр. 303

Метод релаксации

Демидович - Основы вычислительной математики. 1966

307-308

Лекция №13. Потери в местных сопротивлениях

Насадок Борда

Насадком Борда называют условную схему входа, когда прямая труба с бесконечно тонкими стенками (δ = 0) заглублена в бесконечно большой объем (рис.2).

Рис.2. К расчету входа в насадок Борда

При втекании в трубу с проходным сечением F_Tиз объема со всех направлений, в том числе и с обратного вдоль стенок трубы, вследствие инерции потока невозможно резкое изменения направления течения около острых входных кромок. В результате образуетсякольцевая отрывная зонавокруг сузившегося живого сечения струиF_m, которое оцениваетсякоэффициентом сужения

. (1)

На поддержание вихревого крупномасштабного турбулентного движения в отрывной зоне от основного потока отбирается энергия. В результате имеем некоторое значение удельных, т.е. отнесенных к единице массы, потерь Δе. Потери принято относить к удельной кинетической энергии потока после присоединения к стенкам. Соответствующий параметрς называетсякоэффициентом гидравлического сопротивления или коэффициентом потерь:

. (2)

Потери могут также быть оценены скоростным коэффициентомφ, выражающим отношение действительной скорости после присоединенияu_Tк соответствующей скоростиu_Ts в случае отсутствия потерь:

. (3)

Отмеченные особенности втекания приводят и к уменьшению действительного секундного расхода потока

(4) по отношению к случаю идеального втекания, т.е. при отсутствии потерь энергии:

. (5)

Это уменьшение оценивается коэффициентом расходаμ:

. (6)

Расчет течения через МС заключается в определении всех параметров потока после входа в трубу при некотором исходном перепаде давлений р_а ир_Т. Обычно при решении подобных задач необходимо использовать систему, включающую 3 основных закона сохранения: это уравнения расхода, импульса и энергии. Поскольку скорость в объеме на бесконечном удалении равна нулю, в данном случае можно обойтись уравнениями для импульса и энергии.

Несжимаемая жидкость

Для несжимаемой жидкости (ρ =const) уравнение сохранения энергии при втекании записывается в форме уравнения Бернулли:

,

где р/ρ– удельная потенциальная энергия давления,u²/2– удельная кинетическая. С учетом (2) имеемΔе= ς u_T²/2, и это уравнение переписывается в виде

. (7)

Поскольку u_а = 0, перепад давлений на МС можно выразить в виде

. (8)

Уравнение импульса записывается для конкретного контура, чтобы правильно учесть силовое воздействие на поток. Рассмотрим бесконечно большой прямоугольный контур ABCDEHMN. Очевидно, все усилия в направлении, перпендикулярном оси трубы, взаимно уравновешиваются. В направлении оси трубы силы давления на парах поверхностейAN и BC, MH и DE так же взаимно уравновешены. Для оставшегося контураNCDMуравнение импульса можно записать в виде:

, (9) где pFΔt– импульс силы давления,ρFuΔt·u = mu– количество движения. Учитывая, чтоu_а = 0, в результате сокращений наF_TΔtполучим

. (10)

Приравнивая (8) и (10) и сокращая на ρu_T², получим искомое значение коэффициента сопротивления при втекании жидкости в насадок Борда:

. (11)

Очевидно, при втекании без потерь вместо формы (7) уравнение Бернулли имеет вид:

. (12)

Поскольку u_а = 0, для перепада давлений можно записать

. (13)

Сравнивая (8) и (13), и, учитывая определение (3), выразим значение скоростного коэффициента:

. (14)

Поскольку в данном случае ς = 1,

. (15)

В соответствии с определением (6) коэффициента расхода для втекания несжимаемой жидкости в насадок Борда можно видеть, что он будет тождественно равен скоростному коэффициенту:

. (16)

Выразив значение скорости u_Tиз (8) и подставив его в (4), можно получить формулы для расчета расхода в насадок с проходным сечениемF_Tпри перепаде давленийΔр = р_а - р_Т:

; (17) ; (18). (19)

Втекание из канала с большим проходным сечением

В качестве более общего случая рассмотрим втекание в трубу с тонкими стенками и площадью проходного сечения F_Tиз некоторого канала с проходным сечениемF_а >F_T. Это так называемоевнезапное сужение канала(рис.3).

При подходе к торцевым стенкам ВСиDEисходный поток вынужден полностью затормозиться прежде, чем войти в трубу также с сужением живого сечения до некоторой площадиF_mи образованием кольцевой отрывной зоны. В результате торможения в соответствии с законом Бернулли статическое давлениер'наВСиDEповышается до значения

. (20)

Рис.3. Внезапное сужение канала

По аналогии с (9) для контура ABCDEHв направлении оси трубы можно записать уравнение импульса в виде:

, (21) откуда

. (22)

Из уравнения энергии (7) вместо (8) в данном случае (u_а ≠ 0) будем иметь

. (23)

Приравняв (22) и (23) выразим ς:

. (24)

Уравнение неразрывности (сохранения расхода) для сечений входа и выхода из данного МС имеет вид:

. (25)

Выразив из него отношение скоростей u_a/u_Tи подставив в (24), получим расчетную формулуς для внезапного сужения:

. (26)

Из этой формулы видно, что при F_а=F_Tвнезапного сужения не будет, и потери равны нулю (ς = 0), приF_а→ ∞ имеем насадок Борда с бесконечно большим объемом, иς = 1. Из экспериментов известно, что при увеличенииF_T/ F_аот0до1значениеς уменьшается от1до0практически по линейному закону (рис.4):

Рис.4. Зависимость ς = f(F_T / F_а)при внезапном сужении канала

Значение скоростного коэффициента φ,как и для насадка Борда, получается в результате сравнения формул (7) и (12) с получением той же зависимости отς:

.

Подставив сюда выражение ς(26) будем иметь

. (27)

Очевидно, в пределе при F_а→ ∞, т.е. имеемφ, характерное для насадка Борда.

Поскольку в данном случае u_а ≠ 0, для получения расходной зависимости в уравнение Бернулли (7) необходимо подставитьu_a = u_Т F_Т / F_а- аналог уравнения неразрывности (25). Тогда перепад давлений можно выразить в виде

, (28)

и для уравнения расхода на основании (4) вместо (18) получим:

(29) или, с учетом (26), (14) и (16):

; (30) . (31)

Из этих формул видно, что в МС «внезапное сужение», когда имеется вполне определенное значение площади сечения на входе (F_а), расход не может быть выражен простой зависимостью типа (17) в виде прямой пропорции от коэффициента расхода и радикала от плотности и перепада давлений.

Более близкую к (17) формулу можно получить, если выразить u_Тиз (23) в виде

, тогда . (31а)

Обобщенная формула коэффициента сопротивления

Сравнение двух рассмотренных вариантов входа в трубу показывает, что потери сильно зависят от конкретного оформления входа.

Влияние толщины стенок трубы.

Если вернуться к варианту входа из бесконечного объема, но учитывать реальную толщину δстенок трубы, то с увеличениемпотери будут заметно снижаться, т.к. поворот потока около передних кромок будет происходить более плавно, а толщина стенок будет частично компенсировать отрывные зоны, заполняя часть их объема.

С учетом реальной толщины стенок трубы из экспериментов получена зависимость, показанная на рис.5:

Рис.5. Зависимость коэффициента сопротивления прямого входа от

относительной толщины передней кромки трубы

Из рис.5 видно, что при δ/D_Т= 0имеемς = 1(насадок Борда). По мере увеличения толщины кромок потери снижаются по закону, близкому к линейному, до предельногоς = 0,5, получаемого приδ/D_Т= 0,045,после которого это значениеςфиксируется.

Влияние заглубления трубы в объем

При δ/D_Т= ∞имеем вход в трубу, установленную заподлицо в стенку, и посколькуδ/D_Т> 0,045, ς = 0,5. Очевидно, выдвигая трубу в объем на некоторую величинуbи уменьшаяδ, будем приближаться к варианту насадка Борда. Соответствующие измененияςв диапазоне0,5≤ς ≤ 1,0показаны на рис.6.

Плавность входа

Радикальным способом снижения потерь на входе является выполнение плавных скруглений (насадков). Экспериментальные зависимости ςот относительного радиуса скругленияr/D_Тдля заглубленного и выполненного заподлицо входа показаны на рис.7.

Рис.6. Зависимость коэффициента сопротивления от относительной

глубины b/D_Твхода

Рис.7. Зависимость коэффициента сопротивления скругленного входа от

r/D_Тдля заглубленного и выполненного заподлицо входа

Из рис.7 видно, что уже при сравнительно небольшом относительном радиусе скругления r/D_Т=0,2потери становятся близкими к нулю.

Наиболее низкие потери (ς = 0,01...0,02)имеют место при специальном профилировании входа, например, полемнискате, когда получается абсолютно равномерное поле скоростей в сечении трубы за счет бесконечно большого значения радиуса (ρ = ∞) кривизны профиля в точке перехода к сечению трубы (рис.8)

Рис.8. Лемнискатный вход в трубу

Дополнительно для максимального снижения потерь внутреннюю поверхность профиля следует полировать. Подобное оформление входа всегда применяется в продувочных стендах различных энергоустановок и их элементов.

Для массового применения используются и более простые устройства, не требующие для изготовления сложной технологии, например, конусы или просто снятие фаски (рис.9). Соответствующие значения ςполучаются с помощью экспериментальных продувок и публикуются в справочниках по гидравлическим сопротивлениям. В литературе вместоς могут быть представлены значениякоэффициентов смягчения входа η. Тогда для определения потерь вместо (26) используют обобщенную формулу

. (32)

Расчет отрывного течения газачерез граничный элемент типавход в трубус помощью соотношений (11), (14), (17)-(19), (26), (27), (29)-(32), полученных для несжимаемой жидкости, является приближенным. Однако на практике, особенно при небольших перепадах давленияΔр, может давать вполне удовлетворительные результаты и широко применяется различных упрощенных математических моделях.

Внезапное расширение канала

Несжимаемая жидкость.

Рассмотрим МС, в котором поток из трубы с меньшим проходным сечением F_mвыходит в трубу с большим проходным сечениемF_T (рис.18). Благодаря инерции поток не может сразу расшириться и заполнить все сечениеF_T. Он выходит в виде свободной, постепенно расширяющейся струи (т.н. «затопленной» струи), отделенной от окружающих отрывных зон поверхностью раздела. Эта поверхность неустойчива, на ней возникают вихри, имеет место турбулентное премешивание, массообмен между основным потоком и отрывными зонами. В результате имеют место определенные потери энергии. Расширяясь, струя на некотором расстоянии присоединяется к стенкам сеченияF_T.

Рис.18. К расчету внезапного сужения

Из практики известно, что давление р′на торцевых стенкахAH и DEширокой части равно давлениюр_m на выходе из узкой части. Это позволяет записать уравнение импульсов для контураABCDв виде:

. (93)

Учитывая уравнение неразрывности (расхода) для сечений mиТ

, (94) которое позволяет избавиться от F_m, из (93) можно выразить

. (95)

Уравнение энергии для этих сечений с учетом потерь Δеимеет вид:

, (96)

откуда

. (97)

Приравняв (95), (97) и выполнив преобразования, получим значение потерь:

. (98)

Эти потери часто называют потерями на удар. Термин в гидрогазодинамику пришел из общей механики, где такой формулой выражаются потери кинетической энергии при неупругом ударе твердых тел. Очевидно, при смешении потоков газа или жидкости не происходит никакого удара. Общая черта этих явлений заключается в том, что в обоих случаях происходит потеря скорости Δu = u_T –u_m.

Для определения коэффициента потерь в соответствии с (2) относим Δек удельной кинетической энергии после присоединения:

.

Заменяя отношение скоростей отношением проходных сечений в соответствии с уравнением неразрывности (94), получим окончательно:

. (99)

Полученный результат для внезапного расширения в виде (98) или (99) называется теоремой Борда.

Сравнивая уравнения энергии для течения с потерями (7) и без потерь (12) подобно тому, как это было выполнено для насадка Борда, получим выражение (14) скоростного коэффициента . Подставив в него значениеςпо (99) будем иметь соответствующие формулы для внезапного расширения:

. (100)

Для определения расхода Gнеобходимо использовать формулу типа (79), где под знаком радикала прибавляется удвоенное значение кинетической энергии2[(ρu_m)²/2], поскольку вследствие диффузорности течения давление после присоединенияp_T> р_m, и перепад давленийΔр =(р_m – p_T) будет отрицательным. Посколькуφ = μ, то

. (101)