Мищенко А. М. Лекции по электротехнике

Предисловие

В Новосибирском государственном университете студентам 1-го курса факультета Информационных технологий читается курс “Электротехника и электроника”. В лекциях по основам электротехники пять наиболее важных тем: общая характеристика электрических цепей; электрические цепи синусоидального переменного тока; методы расчета электрических цепей; резонансные цепи и фильтры на их основе; переходные процессы. Каждой теме соответствует параграф, который содержит краткое изложение теории, приведены примеры аналитических расчетов. Отсутствие у первокурсников достаточных знаний в области дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного значительно усложнило изложение материала. Поэтому структура пособия имеет два уровня. Первый базируется на знакомстве с методами расчетов цепей постоянного тока и понятиями производной, интеграла и комплексного числа. Второй уровень предполагает знание методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и начала теории функции комплексного переменного (теории вычетов). Части, отвечающие второму уровню, помечены звездочкой. Поэтому пособие полезно и для студентов Физического и Геолого-геофизического факультетов.

Автор выражают огромную признательность профессору В.И. Нифонтову – инициатору и вдохновителю данного курса. Автор выражают благодарность профессору М.М. Карлинеру за согласие прочитать рукопись. Сделанные им ценные замечания и обсуждение материала привело к более прозрачному изложению. Автор также признателен Д.Ч. Киму за обсуждение материала и техническую помощь при подготовке рукописи.

2

§1. Общий способ описания электрических цепей

Вданном курсе рассматриваются только линейные электрические цепи,

вкоторых сопротивления, индуктивности и ёмкости не зависят от величин и направлений токов и напряжений. В этих цепях напряжение и ток в каждом элементе связаны линейным (алгебраическим или дифференциальным) уравнением первого порядка.

Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов. Активные элементы являются источниками электрической энергии; к ним относятся источник напряжения e(t) и источник тока i0(t). Пассивные элементы – это сопротивление R, индуктивность L и ёмкость C. Графическим изображением электрической цепи является электрическая схема. Она показывает способ соединения элементов электрической цепи. При описании электрической схемы пользуются понятиями ветвь, узел, контур. Ветвь – один или несколько последовательно соединенных элементов. Узел – место соединения трех или большего числа ветвей. Контур – это замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Электрический ток i(t) = dq/dt, где q – переносимый заряд. Направление тока соответствует движению положительных зарядов и характеризуется знаком. Направление тока в схеме выбирается произвольно и обычно указывается стрелкой. Положительный знак тока, полученный при расчете, означает правильность выбранного направления. В противном случае реальный ток направлен противоположно. Разность электрических потенциалов на концах элемента равно напряжению на элементе (например, uR – напряжение на резисторе R) , а разность электрических потенциалов на концах ветви – напряжению ветви. Знак напряжения выбирают по направлению тока и на схеме указывают стрелкой. В положительном направлении потенциал узлов убывает. Положительное направление напряжения на ветви отображается порядком расположения индексов. Запись напряжения ukn соответствует разности потенциалов узлов k и n, причём потенциал узла k выше потенциала узла n. Напряжение, отсчитываемое в обратном направлении, имеет противоположный знак ukn = – unk. В случае, когда напряжение на схеме приводится от одного узла, потенциал которого принимают за нуль, узловое напряжение или потенциал узла (uk) имеет один индекс, соответствующий номеру узла (k).

1.1. Закон Ома для элементов электрической цепи

В общем случае под законом Ома понимается связь между напряжением и током для отдельных элементов или ветвей электрической цепи, хотя исторически он был экспериментально установлен Омом лишь для случая сопротивления – резистора. Закон Ома для резистора имеет вид

3

где u(t) и i(t) – мгновенные значения напряжения и тока. Коэффициент пропорциональности между током и напряжением R является характеристикой резистора и называется сопротивлением. При согласованном выборе направлений напряжения и тока величина R > 0. Величины u, i, R измеряются соответственно в вольтах (В), амперах (А), омах (Ом).

Мощность p(t), поступающая в сопротивление, рассеивается в нем в виде тепла. Величина мощности

где G = 1/R – проводимость, измеряемая в сименсах (сим).

Для индуктивности (идеальной катушки индуктивности) связь между напряжением и током определяется законом Фарадея

где eL(t) – электродвижущая сила (ЭДС) самоиндукции, вызванная изменением полного магнитного потока (потокосцепления) Ф = Li(t), пронизывающего индуктивную катушку, L – индуктивность катушки. Величина L измеряется в генри (Гн). Интегрируя выражение (1.1.3), получаем

или же, полагая, что в начальный момент времени (t = 0) ток равен i(0), получаем

определяет скорость изменения энергии магнитного поля, накопленной в катушке индуктивности.

Для емкости (идеального конденсатора) связь между напряжением и током возникает из самого определения емкости C как отношения q/uC, где q – накопленный заряд, а uC(t) – падение напряжения на этом элементе цепи. Учитывая, что в цепи, присоединенной последовательно к емкости, ток возникает в результате изменения заряда на емкости, получаем

4

Первый способ соединения (см. рис. 1.2.2) является недопустимым. В этом случае при параллельном соединение идеальных источников E1 и E2 (см. рис. 1.2.2, а), когда E1 ≠ E2 , в источниках возникает бесконечно большой ток при неопределенной величине результирующей ЭДС. При последовательном соединении источников тока i01 и i02 (см. рис. 1.2.2, б) неопределенна результирующая величина тока, при этом на каждом из источнике будет развиваться бесконечное напряжение.

Второй способ соединения (см. рис. 1.2.3) не имеет смысла, так как при параллельном соединении источника тока и источника ЭДС для внешней цепи такой источник будет являться источником ЭДС E1 (см. рис. 1.2.3, а), а при последовательном соединении источника тока и источника ЭДС (см. рис.1.2.3, б) основную роль будет играть источник

тока i02 .

Третий способ соединения (см. рис.1.2.4, а, б) является правильным и основным. Здесь последовательно соединенные источники напряжения и параллельно соединенные источники тока суммарно действуют на внешнюю цепь.

1.3. Законы Кирхгофа

Все расчеты электрических цепей основаны на использовании законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа, который для краткости будем называть законом токов Кирхгофа, утверждает, что алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

Знак тока, втекающего в узел, принимают положительным, а знак вытекающего – отрицательным. Физический смысл закона связан с сохранением заряда при протекании его по электрическим цепям и с отсутствием в узле накопления и утечки заряда во внешнюю среду.

Второй закон Кирхгофа, который для краткости будем называть законом напряжений Кирхгофа, утверждает, что алгебраическая сумма ЭДС e(t) в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах

Обход контура проводят в произвольном направлении, знаки en(t) и u0n (t) , совпадающие с направлением обхода, берут положительными, а несовпадающими – отрицательными.

9

Физический смысл закона связан с потенциальностью электрического поля и вытекает из закона Ома для ветви, состоящей из последовательно соединенного источника ЭДС с пассивным элементом. Пусть, например,

j – я ветвь соединяет i – й и k – й узлы и состоит из источника ЭДС ej (t) и

произвольного пассивного элемента, причем ЭДС соединена с i – м узлом. Тогда падение напряжения на пассивном элементе этой ветви будет равно

соответствует направлению ЭДС от i – о узла к k –у, а знак “–” – наоборот от k –о к i – у. Записывая уравнение (1.3.3) как

контура эти уравнения образуют систему, в которой узловые потенциалы

напряжения на пассивных элементах L2 , C3 и R1 . Суммируя уравнения в

системе, получаем закон напряжений Кирхгофа для выделенного в цепи контура

10