Мищенко А. М. Лекции по электротехнике

Проанализируем резонансные явления в контуре методом комплексных амплитуд. Комплексное сопротивление контура

Первые два слагаемых в уравнении (4.1.8) можно рассматривать как эффективное сопротивление контура, а два последних – как соответственно сопротивления эффективной индуктивности и емкости. Возникновение резонанса будет происходить при частоте

обеспечивающей выполнение условия Im Z ( jω) = 0 . При этой частоте ток и ЭДС источника находятся в фазе и величина тока максимальна.

этого условия исключает возникновение колебаний (см. эту задачу

т. е. оно соответствует простому последовательному контуру с

емкостью и индуктивностью, как в исходном контуре. Поэтому добротность контура легко находится как

что это решение корректно при наличии большой добротности не менее ≈ 102.

61

4.1.2*. Физический способ определения параметров контура

Физический способ определения параметров контура основан на рассмотрении колебательных процессов в контуре. Найдем собственные колебания тока в простом последовательном контуре. Такие колебания будут возникать, если, например, зарядить емкость, а затем выходы контура замкнуть. Иначе говоря, в начальный момент времени (t = 0) напряжение на конденсаторе равно uc(0), а весь контур состоит из цепи с последовательным соединением емкости, индуктивности и сопротивления. По закону напряжений Кирхгофа

описывающее изменение тока со временем. Уравнение (4.1.12) является обычным однородным дифференциальным уравнением, описывающим затухающие колебания. Решение этого уравнения ищут в виде

рассматриваемом случае в первый момент t = 0 ток равен нулю i(0) = 0 .

Физику этого начального условия рассмотрим подробно в § 5. Тогда из уравнения (4.1.12) получаем начальное условие на производную от тока:

dtdi = − ucL(0) При отсутствии диссипации энергии (R = 0) колебания тока

не затухают и имеют частоту ω0 =1LC , которая называется

собственной частотой контура. Наоборот, при значительной диссипации энергии за период собственных колебаний (R/2L > ω0) ток в контуре не совершает никаких колебаний, а лишь экспоненциально затухает. Такое затухание колебаний называют апериодическим. В промежуточном случае слабого затухания (R/2L < ω0) величина тока экспоненциально падает, совершая при этом периодические колебания

62

Рис. 4.1.7

В электронике особую важность представляют колебания со слабым затуханием (R/2L << ω0). Для описания их и контуров, в которых они реализуются, используют следующие характеристики.

1. Декремент затухания δ = R/2L. Обратная величина от декремента соответствует времени τ = 1/δ, за которое амплитуда колебаний

уменьшится в e раз.

2. Логарифмический декремент затухания

период собственных колебаний. Физический смысл логарифмического декремента вытекает из определения количества колебаний N, совершенных за время падения амплитуды колебаний в e раз. Величина N =τT =1(δT ) . Поэтому, логарифмический декремент это обратная

Добротность контура тем больше, чем меньше затухание или чем большее число колебаний произойдет в контуре за время падения

амплитуды в e раз. Введение численного множителя π сделано для совпадения величины данной добротности и добротности определяемой по ширине резонансных максимумов (4.1.7).

63

Добротность контура можно определить и через энергетические потери в контуре:

где W – энергия, запасенная в контуре; P – мощность потерь в контуре при свободных колебаниях, Т – период затухающих колебаний.

В рассматриваемом последовательном контуре при условии δ << ω0 имеем

Пример 4.1.2. В качестве примера проанализируем работу схемы, приведенной на рис. 4.1.6. Рассмотрим собственные колебания в контуре при коротко замкнутом источнике. Для такого контура (E = 0) уравнения Кирхгофа

где i1, i2 и i3 - соответственно, токи в сопротивлении R, R1 и емкости, uC(0)

– начальное напряжение на емкости. Дифференцируя второе уравнение и осуществляя замену i3, получаем систему

Корни этого уравнения

64

Отметим, что, для того чтобы частота свободных колебаний приблизительно равнялась собственной частоте ω0, кроме ρ / R1 << 1, необходимо R / ρ << 1 . Одновременное выполнение этих неравенств возможно, лишь при R << R1.

Резонансные явления в стационарном режиме в цепи с подключенным источником напряжения и собственные колебания определяются только свойствами самой цепи, поэтому не случайно добротность, собственная и резонансная частота совпадают для цепей с малой величиной диссипации энергии.

4.2. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов

4.2.1. Метод комплексных амплитуд определения параметров контура

Метод комплексных амплитуд определения параметров параллельного контура основан на расчете его комплексной проводимости. Рассмотрим простую цепь, состоящую из параллельно соединенных индуктивности, емкости и сопротивления. Подключим эту цепь к идеальному источнику

синусоидального тока I (t) = Im sin(ωt +ψ) . В результате получается

схема, показанная рис. 4.2.1. Поэтому цепь называют параллельным колебательным контуром. Найдем стационарное напряжение на контуре методом комплексных амплитуд. Согласно закону Ома:

Imejψ =Y( jω)U =(R1 + jω1L + jωC)U =

, (4.2.1)

где Y – комплексная проводимость цепи, Um – амплитуда напряжения, ψ0 и

ψ1 – аргумент комплексной проводимости и фаза напряжения. Мгновенное значение напряжение на контуре

а сдвиг фазы между напряжением и током, равный аргументу комплексной проводимости (ψ1 −ψ =ψ0 ):

В выражениях (4.2.3) и (4.2.4) введены следующие параметры:

относительная расстройка и ω0 =1LC – собственная частота контура.

Видно, что частотная зависимость амплитуды напряжения (АЧХ) на параллельном контуре аналогична частотной зависимости тока в последовательном контуре: максимальное, резонансное значение

амплитуды напряжения на контуре Um0 = Im R достигается при ω = ω0;

максимум Um тем выше и острее, чем больше добротность контура. Поэтому все рассуждения о полуширине спектра и связи ее с добротностью справедливы и в этом случае. Однако из формулы 4.2.5 следует, что в данном контуре с увеличением сопротивления добротность возрастает, а полоса пропускания уменьшается. Поэтому во избежание расширения полосы пропускания контура необходимо использовать источники тока с внутренним сопротивлением больше, чем у контура. Тогда проводимость нагруженного контура, являющаяся суммой проводимостей источника тока Y0 и ненагруженного контура Y, не будет сильно отличаться от величины Y. При соединении параллельного контура к источнику напряжения анализ напряжения на контуре проще проводить,

разность фаз ψ0 = ψ – ψ1 между втекающим

66

является параллельным колебательным контуром. Решение проведем методом комплексных амплитуд. Комплексная проводимость контура

равенства нулю мнимой части проводимости. Исключая случай

приобретая вид, соответствующий контуру с идеальными элементами, но

добротность ( Q ≈ R1 / ρ = ρ / R ) и на колебательные процессы в контуре.

Добротность становится равной добротности последовательного контура, состоящего из индуктивности L емкости C и сопротивления R. При

R0 < R1 добротность контура будет определяться величиной внутреннего сопротивления источника Q ≈ R0 / ρ . Полученное решение корректно при наличии большой добротности не менее ≈ 102.

68

4.2.2*. Физический способ определения параметров

Найдем собственные колебания напряжения на контуре, состоящем из параллельно соединенных емкости, индуктивности и сопротивления, когда источник отсоединен. Пусть, например, в начальный момент времени (t = 0) ток в индуктивности равен iL(0), а напряжение на емкости u(0) = 0 .

По закону токов Кирхгофа

описывающее изменение напряжения на контуре. Уравнение (4.2.8) подобно уравнению (4.1.13). Оно является однородным дифференциальным уравнением, описывающим собственные затухающие колебания. При отсутствии потерь энергии в контуре ( R = ∞ , т. е. разорвать цепь с сопротивлением) напряжение будет соответствовать периодическим незатухающим колебаниям с собственной частотой

контура ω0 =1LC . Если потери энергии за период собственных

колебаний значительны, то второй член в уравнении (4.2.8) доминирует над третьим и напряжение экспоненциально падает, не совершая колебаний. Такое затухание колебаний называют апериодическим. Это наглядно видно из выражения для корней характеристического уравнения

затуханий (1/2RC < ω0 подкоренное выражение отрицательно) возникают периодические колебания напряжения с экспоненциальным падением амплитуды.