Мищенко А. М. Лекции по электротехнике

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

e (t) +e (t) = Ri(t) + L

.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

§2. Электрические цепи синусоидального тока

2.1.Общие положения

В линейных электрических цепях синусоидальные токи и напряжения при всех преобразованиях остаются синусоидальными. Именно поэтому этот частный случай особенно важен как в теории электрических цепей, так и на практике. Теория синусоидальных токов лежит в основе метода спектрального анализа, позволяющего исследовать цепи с произвольной формой сигнала. На практике силовая аппаратура и бытовая техника для питания в основном используют синусоидальное напряжение.

При рассмотрении цепей переменного тока предполагается выполнение условий квазистационарности, состоящих в том, что время τ распространения элекромагнитной волны по всей цепи много меньше периода наивысшей гармоники тока T. Для радиотехнических цепей, длина которых не более метра, величина τ меньше 0,3 10-8 с. и токи можно считать квазистационарными вплоть до частот f = 1/T порядка 100 МГц. При этих частотах электрические поля в цепи можно считать статическими и для расчетов мгновенных значений тока и напряжения использовать закон Ома.

В рассматриваемых цепях напряжения и токи источников являются синусоидальными функциями времени, которые можно записать в виде

ek (t) = Ek sin(ωkt +ψk ) ;	(2.1.1)
in (t) = In sin(ωnt +ψn ) ,	(2.1.2)
где Ek и In – амплитудные значения ЭДС и тока	источников k и n;
ωk ,n = 2πfk ,n и ψk ,n - соответственно частоты	и начальные фазы
источников.

Используя запись синуса в комплексной форме, ЭДС и ток этих источников запишем в виде (в электротехнике мнимая единица обозначается буквой j)

e (t) = Im[E		k	e j(ωk t +ψ k ) ] = Im(E			k	e jψ k e jωk t ) = Im[E&		e jωk t ] ;	(2.1.3)
k								k
i (t) = Im[I	n	e j(ωnt +ψ n ) ] = Im[I		n	e jψ n e jωnt ] = Im[I&			e jωnt ] ,		(2.1.4)
n							n

где E&k = Ek e jψ k и I&n = Ine jψ n

ЭДС и тока источников k и n. являются модулями

– комплексные амплитудные значения

Действительные амплитуды ЭДС и тока комплексных амплитуд

Ek = E&k = E&k E&k* = Ek e jψ k Ek e− jψ k и аналогично In = I&n I&n* = I&n ,

где знак “*”означает комплексное сопряжение.

В последующих параграфах, для упрощения записи, точка над комплексной амплитудой будет опускаться там, где ее нельзя спутать с действительной амплитудой.

На практике измерительные приборы обычно регистрируют среднеквадратичные (действующие) значения напряжений и токов за период их изменений. Например, действующее напряжение

UD =	1	T u2dt = Um		1	T	(1	−cos 2ωt)dt = Um	,	(2.1.5)
	T	∫	2	T	∫		2
		0			0

где Um – амплитудное значение напряжения. В дальнейшем заглавные буквы с индексом m будут соответствовать амплитудным значениям величин.

Мгновенная мощность p(t), равная произведению тока на напряжение: p(t) =Um sin(ωt +ψ )Im sin(ωt +ψ1) =

					(2.1.6)
	=	1 Um Im[cos(ψ −ψ1) −cos(2ωt +ψ +ψ1 )].
		2
Средняя мощность за период
P =	1	T	pdt = Um	Im	cos(ψ −ψ1) =
	T	∫	2	2	(2.1.7)
		0			(2.1.7)

= 12 Um Im cos(ψ −ψ1) =UD ID cosϕ,

где ϕ – разность фаз между напряжением и током. Мощности p(t) и P

представляют собой мгновенное значение мощности и мощность, среднюю за период, как в отдельном элементе цепи, так и в участке (ветви) цепи в зависимости от того, соответствуют ток и напряжение отдельному элементу или участку цепи. Для удобства записи мощности величины ЭДС и токи источников в цепях синусоидального тока выражают через действующие значения.

2.2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Принцип суперпозиции

Расчеты электрических цепей эффективно проводят с применением функций комплексных переменных. Напряжения и токи выражаются через комплексные амплитуды аналогично из выражений (2.1.1), (2.1.2):

u(t) =Um sin(ωt +ψ ) = Im[Ume	jψ	e	jωt	&	jωt	] ;	(2.2.1)
				] = Im[Ue
i(t) = Im sin(ωt +ψ1) = Im[Ime jψ1 e jωt ] = Im[I&e jωt ] ,							(2.2.2)

где U& = Ume jψ , I& = Ime jψ1 – комплексные амплитуды, а Um, Im –

действительные амплитуды напряжения и тока (модули комплексных амплитуд), ψ и ψ1 – фазы напряжения и тока (аргументы комплексных амплитуд). Переход от комплексных значений тока и напряжения к реальным значениям осуществляется взятием мнимой части.

Запишем закон Ома для резистора (1.1.1) через комплексные функции:

uR (t) = Im[U&Re jωt ] = R Im[I&e jωt ] = Im[R I&e jωt ] .	(2.2.3)
Откуда получаем для резистора закон Ома в комплексной форме
U&R = RI&.	(2.2.4)

Отметим, что ток в резисторе и напряжение на нем имеют одну и ту же фазу. Говорят, что они находятся в фазе. Действительные амплитуды

напряжения и тока связаны выражением UR = U&R = RI& = R I& = RI .

Отметим, что оно справедливо и для действующих значений тока и напряжения.

Для индуктивности из выражений (2.2.1), (2.2.2) и закона Ома (1.1.4) получаем

uL (t) = Im[U&Le jωt ] = L dtd {Im[I&e jωt ]}= Im[L dtd {I&e jωt }] = Im[jωLI&e jωt ]. (2.2.5)

При записи выражения (2.2.5) воспользовались возможностью перестановки операций взятия мнимой части и дифференцирования.

Действительно

{Im[I&e jωt ]} =

sin(ωt +ψ)}= I ω cos(ωt +ψ) . С

другой

стороны

{I&e jωt }] = Im[ jωI&e jωt ] = Im[e j

π ) =

Im[

2ωI&e jωt ] = ωIm sin(ωt +ψ +

= ωIm cos(ωt +ψ) ,

где использовано представление мнимой единицы в

виде e j 2 . Таким

образом, согласно выражению (2.2.5), имеем для

индуктивности закон Ома в комплексной форме имеет вид

U&L = jωLI&.

(2.2.6)

Видно, что фаза напряжения на π/2 больше фазы тока. Говорят, что напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на π/2. Амплитуды напряжения и тока или их действующие значения на индуктивности

связаны формулой UL = ωLI . По аналогии с резистором сопротивление индуктивности представляют комплексным сопротивлением

ZL = jωL .

(2.2.7)

Это сопротивление является чисто мнимым и линейно зависит от частоты.

Для случая емкости аналогично с использованием закона Ома (1.1.7) получаем

jωt

& jωt

jωt

1 &

u (t) = Im[U

] =

Im[Ie

]dt = Im[

dt] = Im[

I]. (2.2.8)

C ∫

jωC

Откуда

UC =

I .

(2.2.9)

jωC

При записи выражения (2.2.8) воспользовались справедливостью перестановки операций взятия мнимой части и интегрирования. Покажите самостоятельно справедливость такой перестановки. Видно, что для емкости фаза напряжения на π/2 меньше фазы тока. Говорят, что напряжение на индуктивности отстает от тока по фазе на π/2. Амплитуды напряжения и тока или их действующие значения связаны формулой

UL = IωC . Тогда сопротивление емкости

ZC = − j	1	.	(2.2.10)

	ωC

Это сопротивление так же является чисто мнимым, но в отличие от сопротивления индуктивности имеет обратно пропорциональную зависимость от частоты.

Пример 2.2.1. Последовательное и параллельное соединение пассивных элементов R, L и C.

При последовательном соединении элементов по ним протекает один и тот же ток, а общее падение напряжения равно сумме напряжений на

каждом элементе, т. е. u(t) = uR (t) +uL (t) +uC (t) . Поэтому, используя выражения (2.2.1), (2.2.3), (2.2.5) и (2.2.8), получаем

&	& & &	1	&	&
U	=UR +UL +UC = (R + jωL +	jωC	)I	= ZI ,	(2.2.11)
		jωC

где введено общее сопротивление цепи Z = ZR + ZL + ZC .

При параллельном соединении элементов обеспечивается равенство напряжений на каждом элементе, тогда как общий ток является суммой токов в каждом из них. Тогда, переходя к комплексным амплитудам и используя законы Ома для элементов R, L и C, получаем

I& = I&R + I&L + I&C = (	1	+	1	+ jωC)U& =YU& ,	(2.2.12)
	R		jωL

где введена общая проводимость цепи Y =1R +1ZL +1ZC =

=YR +YL +YC .

Вобщем случае для произвольного комплексного сопротивления Z запись закона Ома в комплексной форме совпадает по виду с записью закона Ома для постоянного тока:

U& = Z I&.

(2.2.13)

При расчетах схем в зависимости от ситуации используется различная запись комплексного сопротивления и проводимости

Z = R + jX =

e jψ = R2 + X 2 (cosψ + j sinψ) ;

(2.2.14)

Y =

= g + jy

R − jX

+ j(−

) ;

(2.2.15 а)

R2 + X 2

R2 +

X 2

Y =

(cosψ + j sin(−ψ )) ,

(2.2.15 б)

e jψ

где ψ – аргумент комплексного сопротивления; R – вещественная часть комплексного сопротивления, ее называют активным сопротивлением; X – мнимая часть комплексного сопротивления, ее называют реактивным сопротивлением; аналогично, g – активная проводимость; y – реактивная проводимость. Выпишем формулы для нахождения аргумента

tgψ =	X	;		(2.2.16)
	R

cosψ =		R	;	(2.2.17)
		R2 + X 2

sinψ =		X	.	(2.2.18)
		R2 + X 2

Законы Кирхгофа в комплексной форме записываются простыми линейными уравнениями. Так закон токов Кирхгофа (1.3.1) для узла цепи есть

∑I&n = 0 ,	(2.2.19)
n

где суммирование ведется по всем ветвям, образующим узел. Закон напряжений Кирхгофа (1.3.2) преобразуется к виду

∑E&n = ∑U&n ,	(2.2.20)
n n

где суммирование ведется по всем источникам ЭДС и пассивным элементам, входящим в выделенный замкнутый контур.

Пример 2.2.2. Найдем напряжения на емкости и сопротивлении в схеме, приведенной на рис. 2.2.1. Ток в цепи из закона напряжений Кирхгофа

I& =

− jψ

(2.2.21)

R + 1 jωC

R2 +

(ωC)

где

ψ = arctg(−

) –

аргумент

RωC

комплексного

сопротивления

цепи.

Величина ψ определяет разность фаз

между током и ЭДС. Тогда комплексное

напряжение на емкости

=Z I&

E&e

− j(

π +ψ)

. (2.2.22)

Рис. 2.2.1

(RωC)2 +1

Напряжение, измеряемое вольтметром (V), будет равно модулю этого напряжения, если полагать, что модуль ЭДС источника соответствует

действующему значению ( E& = ED ) т. е.

V = U&C =	1	E& .	(2.2.23)
	(RωC)2 +1

Если же модуль ЭДС источника соответствует амплитудному значению

(	E&	= Em ), то V = U&C =	1	Em	. Обычно для цепей

			(RωC)2 +1	2

синусоидального тока в целях для удобства значения ЭДС и токи источников выражают через действующие величины, опуская нижний индекс. Мгновенное напряжение на емкости можно измерить осциллографом. Оно получается из комплексной амплитуды умножением

на e jωt и взятием мнимой части:

&	jωt	) =	1	Em sin(ωt −ψ −	π	) .	(2.2.24)
uC (t) = Im(UC e			(RωC)2 +1		2

Аналогично находится напряжение на резисторе:

&	jωt	) =	RωC	Em sin(ωt −ψ) .	(2.2.25)
uR (t) = Im(URe		) =	(RωC)2 +1	Em sin(ωt −ψ) .	(2.2.25)
			(RωC)2 +1

Отметим важную особенность данной цепи. При малых частотах (ω <<1RC ) напряжение на емкости примерно равно ЭДС источника, а

при больших (ω >>1RC ) стремится к нулю. Наоборот напряжение на резисторе с уменьшением частоты (ω <<1RC ) стремится к нулю, а с увеличением частоты (ω >>1RC ) – к ЭДС источника. Это является

прямым следствием частотной зависимости сопротивления емкости. При малых частотах сопротивление емкости значительно превосходит

сопротивление резистора (при ω = 0 сопротивление емкости ZC = ∞, что

соответствует разрыву цепи) и, как в случае простого делителя напряжения на резисторах, основное падение напряжения происходит на емкости. При больших частотах сопротивление емкости становиться меньше сопротивления резистора и основное падение напряжения происходит на резисторе.

Разность фаз между током и ЭДС стремится к нулю в области больших частот и стремится к – π/2 при малых частотах. Поэтому напряжение на сопротивлении полностью повторяет временную зависимость ЭДС при больших частотах, тогда как напряжение на емкости

– при малых частотах. Этим свойством RC цепочек пользуются для фильтрации сигнала. При устранении низкочастотных помех сигнал снимают с резистора, а при устранении высокочастотных помех сигнал снимают с емкости. Подробнее это рассмотрено в § 4.

При записи уравнения (2.2.20) предполагается, что все источники ЭДС работают на одной частоте. При наличии в контуре источников с разной частотой в силу линейности цепи пользуются принципом суперпозиции.

Согласно этому принципу каждый источник не зависимо от остальных создает в элементах цепи свой ток и свое напряжение на них так, что реальный ток в элементе или напряжение на нем является алгебраической суммой (суперпозицией) этих токов, а реальное напряжение на элементе является алгебраической суммой (суперпозицией) этих напряжений.

Пример 2.2.3.	Рассчитаем токи в контуре, состоящем из
последовательно	соединенных	двух	источников	ЭДС:
e1(t) = E1 sin(ω1t +ψ1) , e2 (t) = E2 sin(ω2t +ψ2 )			и пассивных элементов

R, L, C. Уравнение по закону напряжений Кирхгофа в интегродифференциальном виде есть

Представим ток суммой двух токов:

i(t) = i1(t) +i2 (t) и будем полагать,

что введенные токи i1(t) и i2 (t)

удовлетворяют уравнениям

e (t) = Ri (t) + L

di1(t)

∫

i (t)dt ;

(2.2.27)

e (t) = Ri (t)

+ L

di2 (t)

∫

i (t)dt .

(2.2.28)

Тогда суммируя уравнения (2.2.27) и (2.2.28) получаем

e (t)

+e (t)

= Ri (t) + L

di1(t)

i (t)dt + Ri (t) + L

di2 (t)

(t)dt .

C ∫

Это выражение получается и прямой подстановкой суммы токов в уравнение (2.2.26). Таким образом, реальный ток можно представлять суперпозицией токов созданных, каждым источником в отдельности независимо друг от друга. Причем зависимость ЭДС от времени может быть произвольной. В рассматриваемом случае синусоидальных

напряжений токи i1(t) и i2 (t) легко находятся методом комплексных

амплитуд. Для этого уравнения Кирхгофа (2.2.27) и (2.2.28) запишем в комплексной форме:

&										1			&			&
E	= (R + jω L				+			jω			C	)I = Z(ω )I ;									(2.2.29)
1			1					jω			C		1		1	1
											1
&											1		&				&
E2	= (R + jω2 L +													)I2	= Z (ω2 )I			2 ,			(2.2.30)
E2	= (R + jω2 L +								jω2C					)I2	= Z (ω2 )I			2 ,			(2.2.30)
									jω2C
где E&	= E e jψ1 , E&					= E				2	e jψ		2 . Отсюда
1	1		2							2
i (t) = Im[			E e jψ1			e	jωt								E				sin(ωt +ψ
			1					1		] =					1						−ϕ ) ; (2.2.31)
		Z(ω )		e jϕ1				1		] =					1			1			−ϕ ) ; (2.2.31)
1		Z(ω )		e jϕ1										R2				1	1	1	1
			1												+(ω L −				)2
			1												+(ω L −		ωC		)2
															1		ωC
																		1

i (t) =Im[

E ejψ2

jω

sin(ω t +ψ

] =

−ϕ ) , (2.2.32)

Z(ω )

ejϕ2

R2 +(ω L −

ω C

где

tg(ϕ ) = ω1L +1

ω1C ,

tg(ϕ

) = ω2 L +1 ω2C –

выражения для

определения аргументов комплексного сопротивления цепи на двух частотах.

	Пример 2.2.4. Рассмотрим широко используемую в электронике цепь
	из	последовательно					соединенного
	резистора и конденсатора. Пусть эта цепь
	подключена к источнику напряжения,
	имеющему		постоянную				составляющую	и
	переменную		–		синусоидальную. На
	рис. 2.2.2. изображена такая цепь с
Рис. 2.2.2	синусоидальным источником напряжения с
Рис. 2.2.2	комплексной амплитудой E1 и							с
	комплексной амплитудой E1 и							с
	источником		постоянного				напряжения	с
	ЭДС равной E2. Будем полагать, что
	включение источников произошло достаточно давно, и цепь пришла в
	квазиравновесное (стационарное) состояние. Линейность электрической
	цепи (R и C не зависят от протекающего тока) позволяет воспользоваться
	принципом		суперпозиции i(t) = i1(t) +i2 (t) , где						токи	i1(t) и	i2 (t)
	определяются соответственно источниками ЭДС E1 и E2. Для нахождения
	тока i1(t) воспользуемся формулой (2.2.31). Тогда имеем
	i1	(t) =	E1ωC			sin(ωt +ψ) ,					(2.2.33)
	i1	(t) =				sin(ωt +ψ) ,					(2.2.33)
		(RωC)2 +1
	где	ψ = arctg(		1		) .	Для нахождения тока		i (t)	можно	также
	где	ψ = arctg(				) .	Для нахождения тока		i (t)	можно	также
				RωC					2
				RωC

формально воспользоваться выражением (2.2.32), сделав в нем предельный переход ω2 → 0 . Такой формализм приводит к естественному значению

i2 (t) = 0 , которое означает, что постоянный ток не проходит через емкость.

Таким образом, напряжение на резисторе определяется только синусоидальным током, вызванным ЭДС E1 и при заданной частоте

выбором величины конденсатора ( C >> 1ωR ) может доведено

практически до величины пользуются в электронике постоянной составляющей.

E1. Этим свойством RC цепочек широко для отделения переменного сигнала от

Напряжение на емкости кроме переменной составляющей

u1(t) =	E1	sin(ωt +ψ −	π	) =−	E1	cos(ωt +ψ) (2.2.34)
	(RωC)2 +1		2		(RωC)2 +1

имеет постоянное напряжение u2 = E2 . Это стационарное напряжение на емкости возникает при подключении цепи к источнику напряжения, и оно

препятствует протеканию постоянного тока, обеспечивая нулевое напряжение на резисторе. Подробно о поведении цепей при переходе от одного стационарного состояния к другому рассмотрено в § 5.

Полная система уравнений для расчета токов в ветвях для случая цепей синусоидальных источников получается также как и в случае цепей постоянного тока. Поэтому ее легко записать на основе системы уравнений (1.5.1) путем замены токов и ЭДС на соответствующие комплексные амплитуды, а сопротивления Rks на комплексные сопротивления пассивных элементов Zks

	r			m (1, q −1),
	∑I&km = 0 ,			m (1, q −1),
				.	(2.2.35)
S k		S		.	(2.2.35)
∑E		E&ks = ∑Z	Zks I&ks ,	s (1, p −q +1).
	k	k

В этой системе уравнений также предполагается, что источники ЭДС работают на одной и той же частоте. Поэтому при работе в схеме источники с разной частотой, необходимо воспользоваться принципом суперпозиции. Тогда расчет проводится раздельно для каждой группы источников с одинаковой частотой. Остальные источники из электрической цепи удаляются. Удаление источника производят замыканием идеального источника напряжения, тогда как элементы схемы, изображающие внутреннее сопротивление источника, остаются включенными в схему. Реальные токи находят суперпозицией рассчитанных токов.

При наличии в цепи источников тока, с ними поступают, так же как указано в § 1 для цепей постоянного тока. Дополнительные способы расчета цепей с источниками тока рассмотрены в § 3.

2.3. Комплексная мощность

Использование комплексной формы записи токов и напряжений позволяет проводить усреднение по времени с помощью простой операции: взятия модуля. Например, действующее значение напряжения

получают как UD =	U&eiωtU& e−jωt	=	U&me jψU&me−iψ					Um2	=	1	Um
	2				2	=		2
										2
или с использованием закона Ома:		UD =		1	&	&	=	1		&	, где
				2	ZIZ I			2	Z Im

Z – модуль комплексного сопротивления. Двойка в знаменателе нужна

лишь при определении напряжений (или токов) через амплитудные значения. Это позволяет определить полную мощность S для участка цепи

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
02.05.201410.02 Mб94Лекции по ТОЭ5.doc
#
02.05.20145.91 Mб63Лекции по ТОЭ6.doc
#
02.05.20146.61 Mб467Машины постоянного тока и трансформаторы.doc
#
02.05.20141.25 Mб82Методичка - Резистивные схемы.pdf
#
02.05.2014240.44 Кб37Методичка к курсовой работе.pdf
#
02.05.20141.8 Mб151Мищенко А. М. Лекции по электротехнике.pdf
#
02.05.2014829.16 Кб58Непопалов В.Н. Расчет линейных электрических цепей переменного тока.PDF
#
02.05.2014412.09 Кб44Непопалов В.Н. Расчет линейных электрических цепей переменного тока1.PDF
#
02.05.20144.08 Mб126Огорелков, Попов. Электротехника.doc
#
02.05.20144.08 Mб189Огорелков, Попов. Электротехника1.doc
#
02.05.2014308.22 Кб142Операционные усилители.doc