Мищенко А. М. Лекции по электротехнике

Пример 1.3.2. Интегрирование и дифференцирование на LC – цепочке.

Рассмотрим цепь, (рис.1.3.1) состоящую из сопротивления R, индуктивности L и источника напряжения e(t). Данная цепь может использоваться в качестве дифференцирующей и (или) интегрирующей цепочки, хотя обычно для этих целей используют цепочки из сопротивления и емкости. Цепочку с емкостью рассмотрите самостоятельно. Запишем уравнение Кирхгофа для этой цепи:

измеряя напряжение на сопротивлении, получаем интеграл от напряжения приложенного к цепочке uR = τ1 ∫e(t)dt , где τ = LC . При обратном

условии ∆t > τ , т. е. при более плавном изменении ЭДС источника, основную роль в уравнении (1.3.7) играет первое слагаемое и ток в цепи i(t) = e(t)R . Поэтому, измеряя напряжение на индуктивности получаем

производную от напряжения, приложенного к цепочке uL =τ dedt(t) .

Рассмотрим случай линейного от времени изменения ЭДС источника:

11

uR ≈ (a2τ)t2 и цепочка в этих условиях будет интегрирующей.

Второй случай ( ∆t >τ ). Тогда ( exp(− tτ ) <<1) и цепочка будет дифференцирующей. Напряжение на индуктивности uL (t) = aτ .

1.4. Условия эквивалентности представления реальных источников схемами источников напряжения и тока ограниченной мощности

внешней электрической цепи, присоединяемой к источникам. В этом смысле также считают эквивалентными сами

источники напряжения и тока ограниченной мощности. Условия эквивалентности рассмотрим для простого случая, когда пассивный внутренний элемент источников является резистором с сопротивлением R1 (рис. 4.1.1). Случаи, когда пассивный внутренний элемент является индуктивностью или емкостью, предлагается рассмотреть самостоятельно. Пусть этот источник нагружен на внешнюю цепь так, что на его клеммах

В частности, при нулевом сопротивлении нагрузки (режим короткого замыкания) внутреннее сопротивление ограничит ток. Ток короткого

замыкания будет равен iкз(t) = e(t)R1 . В случае бесконечного сопротивления нагрузки (режим холостого хода) ток равен нулю, а напряжение на клеммах источника равно ЭДС ( uxx (t) = e(t) ).

12

Пример 1.4.1. Используем условия эквивалентности источников напряжения и тока, для определения токов в ветвях схемы, приведенной на рис. 1.4.3. Схема состоит из двух узлов, которые соединяют три параллельных ветви. Левая ветвь состоит их источника ЭДС и сопротивления, а правая из источника тока. Так как пассивные элементы состоят из резисторов, решение не будет зависеть от вида функций e(t) и i0(t). Расчет удобно начать с преобразования левой ветви в источник тока, считая сопротивление R1 внутренним сопротивлением. При этом в качестве внешней цепи будем рассматривать ветвь с сопротивлением R2, для этого на схеме выделим для наглядности узлы, относительно которых производится эквивалентное преобразование.

сопротивлении R1 нельзя. Это связано с тем, что это сопротивление является внутренним сопротивлением источника напряжения, а при эквивалентной замене на источник тока обеспечивается неизменность тока и напряжения для внешней нагрузки. Поэтому надо вернуться к исходной схеме, изображенной на рис. 1.4.3, для которой теперь известно падение напряжения на сопротивлении R2 . По этой схеме ток в R1 найдем по закону Ома

По второму способу в схеме на рис. 1.4.6 можно сделать относительно сопротивления R2 обратный переход от источника тока с внутренним сопротивлением R1 к эквивалентному источнику напряжения с ЭДС

e1(t) = R1i2 (t) . Тогда схема еще больше упростится (см. рис. 1.4.7). Ток в этой схеме равен току через сопротивление R2 в исходной схеме iR2 = e1(t)(R1 + R2 ) . Дальнейшие вычисления как по первому способу.

Преимущество расчетов с использованием взаимных эквивалентных замен источников напряжения на источники тока и наоборот связано с наглядностью и упрощением алгебраических вычислений, что важно при различных оценках.

1.5. Расчет токов ветвей на основании законов Ома и Кирхгофа

Расчет электрических цепей предполагает нахождение во всех ветвях токов и напряжений по заданным параметрам активных и пассивных элементов. Полная система уравнений для расчета, как токов, так и потенциалов записывается на основании закона токов Кирхгофа и закона Ома для ветви. Количество линейно независимых уравнений в системе должно равняться общему количеству неизвестных токов и неизвестных

15

Суммирование ЭДС проводится по всем идеальным источникам напряжений, входящих в выбранный контур s, а суммирование падений напряжений на пассивных элементах ведут по периметру этого контура. Знак ЭДС берут положительным, если он возрастает по направлению обхода контура, и отрицательным, если убывает. Полученная система уравнений состоит из интегро-дифференциальных уравнений, решение которых будет обсуждено в § 5 для случая переходных процессов, а в § 3 и 4 – для случая синусоидальных источников энергии. В этом параграфе ограничимся случаем цепей постоянного тока. Тогда система (1.5.2) преобразуется к виду

Способы решения системы (1.5.3), состоящей из линейных алгебраических уравнений, рассматриваются в курсе линейной алгебры. Отметим лишь, что трудоемкость решения таких систем в аналитическом виде тем больше, чем выше ранг системы. Поэтому в электротехнике разработаны методы, позволяющие на основе физических свойств цепи упростить необходимые расчеты. Эти методы рассмотрены в § 3.

Для записи системы (1.5.2) или (1.5.3) необходимо уметь находить в цепи все независимые контуры. Основной принцип нахождения независимых контуров базируется на том, что независимые контуры должны отличаться друг от друга хотя бы одной ветвью. В § 3 приведены два способа их нахождения, сильно облегчающих задачу в случае сложных схем. В этом параграфе ограничимся лишь замечанием, что для сравнительно простых схем независимые контуры могут быть найдены без применения общих методов, а лишь на основании известного их числа.

17

Теперь найдем независимые контуры и запишем для них уравнения по закону напряжений Кирхгофа. Таких контуров должно быть три (5 – (3 – 1) = 3). Возьмем в качестве их следующие контуры: контур 1 состоит из ветвей с сопротивлениями R1 и R2; контур 2 образуется ветвями с сопротивлениями R2 и R4 и ветвью с источником E2; контур 3 – из ветвей с E2 и R3. Уравнения запишем, совершая обход всех контуров по часовой стрелке. Тогда полная система уравнений:

Решение этой системы уравнений можно проводить последовательной подстановкой, а можно и с применением правила Крамера, записав ее в матричной форме

Тогда общее решение системы (1.5.6):

18

где ∆ – определитель системы, ∆ik – алгебраические дополнения элементов. Проведя математические преобразования, получаем

При написании системы (1.5.1) необходимо все источники тока заменить эквивалентными источниками напряжения. При этом следует помнить, что токи и напряжения на внутренних элементах источников надо рассчитывать по исходной схеме. Однако возможны ситуации, когда идеальный источник тока является ветвью в цепи и его невозможно сразу заменить на эквивалентный источник напряжения. Эти ситуации рассмотрены в § 3 при обсуждении общих методов расчета цепей. Тем не менее и в таких ситуациях можно осуществить эквивалентные преобразования цепи позволяющие использовать уравнения Кирхгофа.

19

Рис. 1.5.2

Эквивалентность преобразования схемы, приведенной на рис. 1.5.2 а, к схеме, приведенной на рис. 1.5.2 б, обеспечивается выполнением закона токов Кирхгофа для узла соединения сопротивлений R1 и R4. Поэтому токи в сопротивлениях R1, R4 и R5 не меняются, а, следовательно, не меняются и потенциалы в узлах. Переход к схеме, приведенной на рис. 1.5.2 в осуществляется обычным преобразованием источников тока в

Проводятся обычным способом. Расставляются направления токов и записывается система уравнений

Решив эту систему, находят токи во всех сопротивлениях в схеме приведенной на рис. 1.5.2 в. Эти токи соответствуют токам в исходной схеме только для сопротивлений R2, R3 и R5. В сопротивлениях R1 и R4 токи необходимо найти по исходной схеме, используя закон тока Кирхгофа и

вычисленные токи в R2, R3 и R5, т. е. i1 = i2 − I0 и i3 = i4 + I0 .

20