Мищенко А. М. Лекции по электротехнике

Определяемые частоты свободных колебаний совпадают с резонансными частотами, получаемыми методом комплексных амплитуд, лишь в контурах с большой добротностью, которые обычно и используются на практике. Причем для таких контуров расчет добротности данными методами приводит к одним и тем же значениям.

4.3. Резонансы в сложных контурах

Сложные цепи в ветвях, которых имеются емкости и индуктивности, могут иметь в зависимости от частоты как параллельный, так и последовательный резонансы. Определение резонансных частот в таких цепях удобно проводить методом комплексных амплитуд. Частоты, при которых выполняется условие Im(Z (ω)) = 0 или Im(Y (ω)) = ∞ ,

соответствуют последовательному резонансу, а при выполнении условия Im(Y (ω)) = 0 или Im(Z (ω)) = ∞ – параллельному резонансу. В

комплексное сопротивление Z(ω) (или проводимость Y(ω)) включают и внутреннее сопротивление источника.

Важные свойства частотных характеристик сопротивлений цепи состоящей только из индуктивностей и емкостей вытекают из теоремы Фостера. Приведем ее формулировку без доказательства. Она вытекает из понятия положительных вещественных функций комплексной частоты, которые описывают физически реализуемые цепи и используются при синтезе электрических цепей.

71

Теорема Фостера. Если сопротивление цепи является чисто мнимым Z (ω) = jX (ω) , то оно описывается неубывающей функцией, т. е.

dX / dω > 0 . Следствия из этой теоремы:

1)точки ω = 0 и ω = ∞ есть особые точки (нули или полюсы входного сопротивления);

2)на оси ω нули и полюсы расположены в чередующемся порядке;

3)в электрической цепи, составленной из n реактивных элементов, возникает не более n-1 резонанса.

Эта теорема и вытекающие из нее следствия позволяют исключать возможные ошибки при анализе цепи на наличие резонансов и при качественном определении резонансных частот. Действительно:

•все частотные характеристики входных сопротивлений и проводимостей цепей являются возрастающими функциями от частоты;

•резонансы тока и напряжения чередуются между собой;

•если в цепи есть путь для прохождения постоянного тока, т. е. при

ω = 0 ZВХ = 0 (частотная характеристика начинается с нуля), то первым наступает резонанс токов, если нет (т.е. при ω = 0 ZВХ = ∞ ), то первым наступает резонанс напряжений.

Рис. 4.3.1

При анализе сложных цепей удобно пользоваться графическим способом. Для этого используют только реактивную составляющую контура, считая сопротивления всех резисторов равными нулю. Частотная

характеристика сопротивления индуктивности ( ZL (ω) = jωL ) имеет линейную зависимость (рис. 4.3.1а), а частотная характеристика

индуктивности ( YL (ω) = − jωL ) является гиперболой (рис. 4.3.1б), а частотная характеристика проводимости емкости ( YC (ω) = jωC ) есть

прямая (рис. 4.3.1а). Это позволяет легко построить в графическом виде частотные характеристики сопротивлений и проводимостей сложных

72

контуров. Графическое построение необходимо начинать с выделения элементов цепи с последовательным и параллельным соединением

Пример 4.3.1. В качестве примера рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенной емкости с параллельным контуром. Графическое построение начнем с параллельного контура. Во-первых найдем проводимость контура, пользуясь правилом: при параллельном соединении элементов общая проводимость является суммой проводимостей отдельных элементов. Используя графики проводимостей емкости и индуктивности (см. рис. 4.3.1), график проводимости параллельного контура Y1(ω) получается простым сложением этих Yграфиков. Место пересечения полученной зависимости Y1(ω) (см. 1рис. 4.3.2а), с осью частот определяет резонансную частоту ω0 . Далее по этому графику построим график сопротивления параллельного контура Z1(ω). При резонансной частоте в спектре сопротивления будет разрыв. При приближении частоты к ω0 слева сопротивление контура будет стремиться к «+» бесконечности, а при подходе к ω0 справа сопротивление контура будет стремиться к «–» бесконечности (изменение знака сопротивления по отношению к проводимости связано с его чисто мнимым значением). При стремлении частоты к нулю сопротивление падает до нуля из-за шунтирующего (замыкающего) влияния индуктивности, тогда как при стремлении частоты к бесконечности шунтировать будет емкость и общее сопротивление упадет до нуля (см.

рис. 4.3.2б).

Наконец рассмотрим последовательное соединение емкости с контуром. Общее сопротивление будет равно сумме сопротивлений

данных элементов ( Z (ω) = ZC (ω) +Z1(ω) ) поэтому и график Y1(ω) будет

73

являться суммой графиков сопротивлений емкости и контура (см. рис. 4.3.2в). Этот график имеет одно пересечение с осью частот (ω1) и один разрыв при ω0. При первой частоте в сложном контуре возникает последовательный резонанс (параллельный контур имеет положительное – индуктивное сопротивление), при второй частоте в сложном контуре возникает параллельный резонанс (все сопротивление определяется параллельным контуром). Этот анализ находится в полном соответствии с теоремой Фостера. Все полученные кривые являются возрастающими функциями с увеличением частоты; точки ω = 0 и ω = ∞ есть особые точки (в нашем случае полюсы); резонансы по частоте расположены в чередующем порядке, причем первый – последовательный резонанс (резонанс напряжений); количество резонансов не превысило 2 ( 2 = n −1, в нашем случае n = 3 ).

Пример 2.3.2. В качестве другого примера рассмотрим схему, состоящую из двухполюсника присоединенного к источнику ЭДС (рис. 4.3.3а). В ней также возникает ( n −1 = 2 ) два резонанса: сначала резонанс токов, а затем резонанс напряжений. Частотная характеристика реактивного сопротивления этого двухполюсника (общее сопротивление всех индуктивностей и емкости), показана на рис. 4.3.3б. Она получается сложением графика сопротивления параллельного контура (см. рис. 4.3.2.б) с графиком сопротивления индуктивности (см. рис. 4.3.1.а). Видно, что двухполюсник имеет два резонанса один параллельный на частоте соответствующей месту разрыва в спектре и один последовательный на частоте пересечения спектра с осью частот. Ток, втекающий в двухполюсник (ток через резистор), определяется выражением

R2 + X 2

74

где E0 – амплитуда источника ЭДС, X – реактивное сопротивление двухполюсника, ψ = arctg( X R) – фаза тока (фаза ЭДС принята за нуль). Отсюда измеряемое вольтметром напряжение на резисторе будет

Следовательно, измеряемый спектр тока или напряжения на резисторе будет иметь максимальные значения при нулевой частоте и на частоте последовательного резонанса (при этих частотах X =0 ), а минимальные значения на частоте параллельного резонанса и в высокочастотной области (при этих частотах X =∞). На реактивном сопротивлении, наоборот, на нулевой частоте и на частоте последовательного резонанса минимальные значения, а на частоте параллельного резонанса и в высокочастотной области – максимальные. Согласно выражениям (4.3.2а) и (4.3.2.б) максимальные напряжения равны ЭДС источника, а минимальные – нулю.

Рассмотрение особенностей в спектрах напряжений в понятиях последовательного и параллельного резонансов позволяет качественно объяснить изменения в спектрах с изменением величины сопротивления резистора. Например, увеличение сопротивления будет вызывать увеличение добротности для параллельного резонанса, а, следовательно, к сужению спектра в этой области частот. Наоборот, в случае последовательного резонанса рост сопротивления резистора будет приводить к уменьшению добротности последовательного резонанса, а, следовательно, к уширению спектра в этой области частот.

4.5. Фильтрующие свойства контуров

Одним из основных свойств колебательного контура является частотная избирательность, которая позволяет из спектра частот источника сигнала выделять или подавлять сигнал с частотой, совпадающей с резонансной частотой. Например, если напряжение источника является суммой

суперпозиции каждое синусоидальное напряжение создаст в контуре свой ток. Тогда общий ток будет суммой отдельных синусоидальных токов (гармоник)

спектральной зависимостью тока в контуре. Поэтому в зависимости от свойств контура выходной сигнал будет либо состоять из гармоник, попавших в полосу пропускания контура, (контуры (б) и (с) на рис. 4.5.1) или наоборот данные гармоники в выходном сигнале будут подавлены (контуры (б) и (с) на рис. 4.5.2).

76

В первом случае, фильтры называются пропускающими, а во втором – задерживающими или режекторными. На рис. 4.5.1а приведены идеальные амплитудно-частотные характеристики коэффициента пропускания (отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного) данных полосовых фильтров и простейшая их реализация одиночными резонансными цепями. Фильтры, изображенные в середине рисунка, работают на последовательном резонансе, а в нижней части рисунка на параллельном.

Кроме полосовых и заграждающих фильтров существуют фильтры нижних частот ФНЧ (с полосой пропускания от 0 до некоторой заданной частоты ωс, называемой частотой среза) и фильтры верхних частот ФВЧ (с полосой пропускания от заданной частоты ωс до ∞). На рис. 4.5.3 и 4.5.4 приведены идеальные АЧХ коэффициента пропускания данных фильтров и их простейшая реализация RC и RL цепочками. Основная проблема фильтров связана с увеличением крутизны фронтов пропускания и с повышением коэффициента пропускания (прозрачности).

77

Отметим, что полосовой фильтр на рис. 4.5.1б получен путем совмещения ФНЧ рис. 4.5.3с и ФВЧ рис. 4.5.4б, а фильтр с – совмещением ФНЧ рис. 4.5.3б и ФВЧ рис. 4.5.4с. Другое совмещение свойств ФНЧ и ФВЧ дает заграждающие фильтры рис. 4.5.2а и с. Это позволяет конструировать фильтры с заданными свойствами. Например, при бесконечном подключении все новых и новых звеньев к цепям, показанным на рис. 4.5.5а или 4.5.5б, получают высокочастотный или низкочастотный фильтр на основе связанных контуров с резким спадом частотной характеристики, соответствующей контурам с высокой добротностью.

Узкополосные фильтры на заданные частоты хорошо реализуются на одном контуре, тогда как создание полосового фильтра на простом, одиночном контуре наталкивается на непреодолимые трудности. Увеличение полосы пропускания за счет уменьшения добротности

78

вызывает падение прозрачности. Наиболее простой выход из этого положения связан с применением связанных контуров. Поэтому в течение длительного времени в

Рис. 4.5.5

электронных устройствах использовались в основном пассивные реактивные фильтры, тогда как в настоящее время эти фильтры практически не применяются. Тем не менее, они до сих пор используются в качестве прототипов при создании многих современных фильтров.

Теории фильтров посвящена обширная литература. Глубокое обсуждение проблем возникающих при их создании выходит за рамки данного курса.

79

§ 5. Переходные процессы в электрических цепях

Переходные или нестационарные процессы возникают в результате коммутаций, происходящих в электрических цепях, и являются переходными режимами между двумя установившимися, стационарными режимами, которые называют принужденными. В электротехнике рассматриваются лишь квазистационарные переходные процессы, при которых запасенная энергия магнитного и электрического поля изменяется плавно, без скачков. Поэтому, все рассматриваемые переходы от одного принужденного режима к другому происходят не скачком или мгновенно, а плавно. Под коммутацией понимают различные включения, выключения, переключения пассивных и активных ветвей и параметров цепи, приводящие к изменению схемы.

5.1. Законы коммутации и независимые начальные условия. Принципы непрерывности потокосцепления и электрического заряда.

В основе законов коммутации для индуктивности и емкости лежит

принцип непрерывности во времени магнитного потока (потокосцепления) в индуктивности L и электрического заряда на емкости С.

Первый закон коммутации гласит: в начальный момент после коммутации ток в индуктивности остается таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется. При этом следует иметь в виду, что напряжение на индуктивности может изменяться скачком.

Второй закон коммутации гласит: в начальный момент после коммутации напряжение на емкости остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

При этом также следует иметь в виду, что ток в емкости может изменяться скачком.

Отметим, что на сопротивлении R скачком может изменяться как ток, так и напряжение.

Выполнение законов коммутации для отдельных элементов цепи в подавляющем большинстве обеспечивает квазистационарность переходных процессов, т. е. плавное изменение запасенной в цепи энергии. Однако, бывают случаи, когда при коммутации образуются контуры состоящие из одних конденсаторов, имеющие различные заряды, или контуры с индуктивностями, имеющими различные токи. В таких контурах прямое следование данным законам коммутации может привести к противоречию с законами Кирхгофа. Поэтому эти случаи необходимо рассматривать на основе общих законов коммутации, обеспечивающих

сохранение суммарного заряда на емкостях в контуре в первом случае и сохранение общего магнитного потока (потокосцепления) контура во

80