Контрольная работа № 2 по дисциплине «Теоретическая механика»

Задача 1. Определить моменты сил Р₁, Р₂, Р₃ относительно точки А (рис. 2.1). Исходные данные приведены в табл. 2.1^*.

Рис. 2.1

Таблица 2.1

Параметр	Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
q, H·м	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
M, H·м	2	4	6	2	4	6	2	4	6	2
a, м	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1
b, м	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3
с, м	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2
d, м	4	2	6	4	2	6	4	2	6	4
l, м	2	0,5	1	2	0,5	1	2	0,5	1	2
α, град.	30	45	60	120	135	150	210	225	240	300
β, град.	30	45	60	30	45	60	30	45	60	30
γ, град.	60	30	45	60	30	45	60	30	45	60

Примечания. Для схем нагружения (задачи 1 – 5).

1. Значение сил Р₁ и G выбирают делением номера зачетной книжки на 2 (для номеров с 00 по 30), на 3 (с 31 по 60), на 4 (с 61 и далее). Полученные значения округляются до целого числа.

2. Значение силы Р₂ получают умножением полученного значения силы Р₁ на 1,5 с последующим округлением до целого числа.

3. Значение силы Р₃ получают умножением полученного значения силы Р₁ на 2.

4. В задаче 2 силу Р₂ для нечетных вариантов задания направлять вниз, для четных — вверх; силу Р₃ направлять противоположно силе Р₂.

5. В задачах 3 и 4 направление момента М для нечетных вариантов задания выбирать по часовой стрелке, для четных — против.

6. В задаче 3 силу Р₂ для нечетных вариантов задания направлять влево, для четных — вправо.

7. В задаче 4 силу Р₂ для нечетных вариантов задания направлять вверх, для четных — вниз.

8. В задаче 1 силу Р₁ направлять горизонтально вправо для нечетных вариантов, для четных — горизонтально влево; силу Р₂ — вертикально вверх для нечетных вариантов, вертикально вниз — для четных.

9. В задачах 1, 2, 4 и 5 углы α, β, γ откладывать в направлении, указанном стрелкой.

Указания. Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо:

. (2.1)

Условно принято считать момент силы положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.

Если линия действия силы проходит через данную точку, то момент силы равен нулю.

Пример. Определим моменты сил F₁, F₂, F₃, F₄ относительно точки А (рис. 2.2), если АВ = 0,7 м, AD = 0,4 м, AC = 0,2 м, F₁ = 10 H, F₂ = 25 H, F₃ = 5 H, F₄ = 8 H, = 45°.

Рис. 2.2

Решение.

1. Момент силы F₁ относительно точки А отрицательный, а плечо силы равно АВ, поэтому

.

2. Момент силы F₂ относительно точки А положительный, так как эта сила стремится вращать тело АВ против часовой стрелки. Из треугольника ADE плечо силы F₂ равно , следовательно:

.

3. Момент силы F₃ относительно точки А отрицательный. Из треугольника АКС плечо силы F₃ равно , следовательно:

.

4. Линия действия силы F₄ пересекает центр моментов, значит, .

Задача 2. Определить реакции в опорах А и В балки (рис. 2.3). Опора А шарнирно-неподвижная. Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Задача 3. Определить реакции в опорах А и В балки (рис. 2.4). Опора В шарнирно-неподвижная. Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Задача 4. Определить реакции и момент заделки в точке А консольной балки (рис. 2.5). Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

При решении задач 2, 3, 4, 6 учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов и деталям машин.

Указания. Для равновесия тела, находящегося под действием плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось одно из следующий условий:

● первое (основное): , ,

или в упрощенной форме записи:

, , ; (2.2)

● второе:

, , , (2.3)

причем ось Ox не должна быть перпендикулярна прямой AB;

● третье:

, , , (2.4)

здесь любые три точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.

В формулах (2.2), (2.3) и (2.4): — суммы проекций всех сил, действующих на тело соответственно осям Оx и Оy; , , , — суммы моментов всех сил относительно точек О, А, В, С.

Пример. На горизонтальную балку АВ (рис. 2.5), заделанную в стену в точке А действует сила Р₁ = 400 Н, приложенная в точке В под углом = 120°, сила P₂ = 100 H и момент М = 3000 Н·м. На участке ВС действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 250 Н·м. Определим реакции в заделке, если а = 6 м, в = 4 м, l = 2 м.

Решение. Заменим распределенную нагрузку q сосредоточенной силой Q, приложенной посередине участка ВС и равной

Силу P₁ разложим на составляющие:

Рис. 2.6

Решим задачу аналитическим методом. Составим расчетную схему, освободившись от связи-заделки, заменив ее вертикальной реакцией , горизонтальной реакцией и моментом заделки М_З (рис. 2.6). Задача статически определима. Направим оси координат и составим урав­нения равновесия:

; ; (1)

; ; (2)

; . (3)

Уравнение (1) позволяет определить момент заделки:

Из (2) находим горизонтальную реакцию:

Из (3) определяем вертикальную реакцию:

Выполним проверку, составив сумму моментов относительно точки В:

; ;

, .

Следовательно, задача решена верно.

Задача 5. Определить усилия натяжения S₁ и S₂ в нитях АВ и ВС, к которым подвешен груз силой тяжести G (рис. 2.7). Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.7

Указания. Рассмотрим геометрический (графический) метод решения задач. При решении задач этим методом необходимо придерживаться следующей последовательности:

1. Выделить тело (или точку), равновесие которого следует рассмотреть.

2. Изобразить все активные (заданные) силы, действующие на выделенное тело.

3. Освободить это тело от наложенных на него связей, заменив их действие реакциями связей. Составить векторное уравнение равновесия плоской системы сходящихся сил:

. (2.5)

4. Построить замкнутый силовой многоугольник (или треугольник, если действуют три силы). При этом следует сначала сложить все заданные, а затем достроить неизвестные силы.

Пример. В шарнире В кронштейна АВС подвешен груз силой тяжести G = 100 Н. Определим усилия в стержнях кронштейна, если  = 110°,  = 30°,  = 40°. Стержни прикреплены к стене шарнирно.

Решение. Рассмотрим равновесие шарнира В. К нему приложена активная сила . Отбросим связи, заменив их реакциями и . Предположим, что стержень АВ растянут, а ВС сжат. Тогда будет направлена от шарнира В, а — к нему. Итак, на узел В действует система трех сходящихся сил.

Условие равновесия можно записать векторным уравнением:

. (2.6)

Для решения применим геометрический метод. Поскольку шарнир В находится в равновесии, то силовой треугольник, составленный из этих сил, должен быть замкнут. Из некоторой точки P_F (полюса плана сил) в выбранном масштабе откладываем вниз вектор , а затем из его начала и конца проводим прямые, параллельные направлениям и до их пересечения. Замерив и (мм) с учетом масштаба находим , . Совершая обход по треугольнику в направлении силы , замечаем, что полученные направления реакций стержней совпадают с первоначально выбранными. Следовательно, стержень АВ растягивается, а ВС сжимается.

Рис. 2.8

Модули S₁ и S₂ можно определить также по теореме синусов:

.

Откуда

Несовпадение результатов, полученных графическим и расчетным путями, не превышает 1%:

, .

Задача 6. Определить реакции опор двухопорной балки (рис. 2.9). Исходные данные — в табл. 2.2^*.

Рис. 2.9

Таблица 2.2

Номер схемы	Вариант	М, Нм	F, H	q, H/м	Номер схемы	Вариант	М, Нм	F, H	q, H/м
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	00	5	40	10	2	01	1	60	54
	11	2	25	20		12	4,5	20	85
	22	10	16	14		23	2	15	40
	33	1,5	50	30		34	5	2,5	100
	45	6	82	60		46	3,5	40	55
	50	3	15	25		51	6	35	60
	66	8	45	40		67	3	100	90
	71	4,5	18	10		72	1,5	80	20
	84	1	20	25		88	8	30	75
	99	12	54	35		90	10	50	30
3	02	5	80	25	4	03	4	10	8
	13	2,5	15	10		14	1	12	10
	24	4	30	20		25	12	16	15
	35	10	55	40		36	8	20	12
	47	12	10	15		48	2	5	3
	52	8	100	30		53	14	30	24
	68	4,5	65	45		69	6	25	20
	73	2	85	60		74	10	8	6
	80	6	90	18		85	16	4	12
	91	3,5	20	16		92	20	15	8
5	04	5	50	35	6	05	8	12	20
	15	4,5	35	30		16	3,5	10	45
	26	8	25	20		27	0,5	8	10
	37	1,5	10	8		38	10	15	50

Окончание табл. 2.2

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	49	2,5	65	50		40	15	18	30
	54	10	8	25		55	4,5	20	15
	60	12	16	40		61	8	3	25
	75	15	30	28		76	12	5	18
	81	5,5	12	15		86	8,5	12	30
	93	6	55	45		94	6	4	45
7	06	2	50	35	8	07	4	18	15
	17	4	10	5		18	6,5	24	20
	28	6	12	8		29	10	16	12
	39	8	15	50		30	2,5	20	25
	41	12	80	15		42	12	40	50
	56	10	35	25		57	3	35	65
	62	20	40	30		63	8	10	25
	77	14	25	20		78	1,5	12	90
	82	16	14	65		87	1	60	35
	95	30	65	75		96	5	15	10
9	08	4	15	2	0	09	4	50	10
	19	1,5	40	15		10	6	65	8
	20	1	20	18		21	2	80	100
	31	10	16	25		32	18	10	15
	43	5	18	14		44	20	55	150
	58	8	10	35		59	10	30	45
	64	6	25	20		65	16	10	25
	79	12	40	30		70	8	2	40
	83	3	35	15		88	14	6	10
	97	7	12	10		98	30	50	60

Указания. Последовательность решения задачи:

1. Изобразить балку вместе с нагрузками.

2. Выбрать расположение координатных осей, совместив ось x с бал­кой, а ось y направив перпендикулярно оси x.

3. Произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом , заменить двумя взаим­но перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку q – ее равнодействующей Q, приложенной в середине участка распределения нагрузки.

4. Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль выбранных осей координат.

5. Составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

6. Проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано при решении задачи.

Пример. Определим реакции опор балки (рис. 2.10, а).

Р

Рис. 1

ешение.

1. Изобразим балку с действующими на нее нагрузками (рис 2.10).

2. Проведем оси координат x и y.

3. Силу F заменяем ее составляющими и . Равнодействующая сила от равномерно распределенной нагрузки q при­ложена в середине участка CD в точке K (рис. 2.10, б) и равна .

4

Рисунок 2.10

. Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями (рис. 2.10, в)

5. Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

Рис. 2.10

Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, определяем одну из известных вертикальных реакций:

; .

Определяем другую вертикальную реакцию:

;

Определяем горизонтальную реакцию:

6. Проверяем правильность найденных результатов:

.

Рис. 2.11

Условие равновесия выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Так как в результате решения искомые реакции получились положительными то, следовательно, предварительное направление их выбрано правильно.

Задача 7. Определить реакции стержней АВ и СВ, удерживающих грузы F₁ и F₂ . Массой стержней можно пренебречь (рис. 2.11). Данные для расчета по схемам 1 – 0 приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Номер схемы										F1	F2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Вариант										кН
00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	0,4	0,5
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	0,3	0,8
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	0,6	0,4
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	0,2	0,5
40	40	41	42	43	44	45	46	47	48	0,5	0,8
50	48	57	56	55	54	53	52	51	50	0,8	0,4
60	60	63	61	66	64	67	65	69	68	0,4	0,2
70	75	71	76	72	77	73	78	74	79	1,2	0,8
80	85	81	86	82	87	83	88	84	89	0,8	1,0
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	0,9	0,6

Пример. Груз весом P = 60 кН подвешен при помощи каната, перекинутого через небольшой блок A и идущего к лебедке D. Определим усилия в стержнях AC и BA крана. Углы, определяющие направления стержней и каната, заданы на рис. 2.12.

Решение. Рассмотрим равновесие узла A, к которому приложены сила реакции стержней AC и AB и сила натяжения каната AD. Обозначим реакцию стержня AB через , реакцию стержня AC через и силу натяжения каната AD через .

Рис. 2.12

Реакции стержней и направим вдоль этих стержней от узла A; сила направлена, очевидно, вдоль каната от A к D, так как он растянут. Кроме того, T = P, так как при отсутствии трения в блоке натяжение каната, перекинутого через этот блок, во всех точках одинаково.

Так как узел A находится в равновесии под действием сил , , , , то можно составить два уравнения равновесия этой системы сходящихся сил.

Выберем оси координат, как указано на рис. 2.12, найдем проекцию каждой силы на эти оси и составим два уравнения равновесия, приравнивая к нулю сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей:

, (1)

. (2)

Из уравнения (2) находим:

Теперь из уравнения (1) получаем:

Так как полученное значение силы отрицательно, то сила имеет направление, противоположное направлению, выбранному на рис. 2.12, т. е. она направлена от С к А, и, следовательно, стержень АС сжат.

Задачу можно решить и геометрически, построив замкнутый многоугольник сил , , , (рис. 2.13). Составим векторное уравнение равновесия плоской системы сил:

+ + + = 0. (2.7)

Рис. 2.13

Отложим из полюса плана сил P_F (точки а) в масштабе последовательно векторы сил и .

Направления сил и найдем после того, как обойдем периметр построенного силового многоугольника, причем направление этого обхода определяется направлением известных сил и .

Измерив стороны cd и ad силового многоугольника выбранной единицей масштаба, найдем величину искомых сил и . Так как углы между силами , , , заданы, то можно найти углы силового многоугольника, а затем вычислить и длины двух неизвестных его сторон. В самом деле, из построения силового многоугольника следует, что:

а потому .

Если соединим точки a и c, то треугольник abc будет равнобедренным, так как P = T, а потому

.

Отсюда следует, что

и .

Применяя теперь к треугольнику acd теорему синусов, получим:

,

откуда а

Чтобы определить, будут ли стержни AB и AC сжаты или растянуты (рис. 2.12), перенесем векторы и из силового многоугольника (рис. 2.13) на стержни AB и AC, тогда сила будет направлена к узлу A, а сила от него, а потому стержень AC сжат, а AB растянут.

Задача 8. На вал жестко насажены шкив и колесо, нагруженные, как показано на рис. 2.14. Определить силы F₂ , F_r2 = 0,4F₂ , а также реакции опор, если значение силы F₁ задано. Данные для вариантов — в табл. 2.4.

Указания. Для равновесия тела в пространстве необходимо и достаточно чтобы суммы проекций всех сил на координатной осях Оx, Оy, Оz и суммы моментов всех сил относительно трех координатных осей равнялись нулю:

(2.8) (2.9)

В упрощенной форме эти условия записываются так:

(2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14) (2.15)

Последовательность решения.

1. Изобразить тело (вал), равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными силами и реакциями опор и выбрать систему осей координат.

2. Из условия равновесия вала, имеющего неподвижную ось, определить силу F₂, после чего вычислить значение силы F_r2 .

3. Составить шесть уравнений равновесия.

4. Решить уравнения и определить реакции опор.

5. Проверить правильность решения задач.

Рис. 2.14

Таблица 2.4

Номер схемы	Вариант	F1 , Н	Номер схемы	Вариант	F1 , Н	Номер схемы	Вариант	F1 , Н	Номер схемы	Вариант	F1 , Н
1	00	1050	2	01	1670	3	02	825	4	03	750
	12	667		13	1250		14	850		15	1900
	24	834		25	2200		26	720		27	1780
	31	1335		32	1580		33	2500		34	1110
	42	1580		43	534		44	4160		45	1550
	53	1400		54	3320		55	1480		56	390
	69	1000		68	4540		67	1050		66	595
	70	1500		71	1385		72	2280		73	1410
	83	567		88	790		84	875		89	4160
	98	1035		99	1140		90	2050		91	240
5	04	3650	6	05	280	7	06	1140	8	07	400
	17	3400		16	595		18	500		19	1600
	28	2320		29	1000		20	3620		21	1810
	35	2080		36	2400		37	2600		38	1850
	46	1035		47	830		48	1590		49	6000
	57	1670		58	600		59	1500		50	3340
	65	520		64	670		63	1870		62	1780
	74	700		75	1880		76	3830		77	1140
	80	2130		85	1870		81	2250		86	2000
	92	1260		93	990		94	2940		95	4100
9	08	1315	0	09	590	9	51	4300	0	52	1450
	10	2380		11	1000		61	3320		60	1530
	22	3420		23	1200		78	2440		79	6000
	39	8340		30	5820		82	1870		87	2880
	40	2320		41	2540		96	2500		97	500

Пример. На вал (рис. 2.15, a) жестко насажены шкив 1 и колесо 2. Определим силы F₂, F_r2 = 0,4F₂, а также реакции опор А и В, если F₁ = 100 H, d₁ = 0,3 м, d₂ = 0,1 м.

Рис. 2.15

Р

Рисунок 2.15

ешение.

1. Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат (рис. 2.15, б).

2. Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия вала, имеющего неподвижную ось, следует:

3. Составим шесть уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

4. Решаем уравнения (1 – 4) и определяем реакции опор:

из (1)

из (2)

из (3)

из (4)

5. Проверяем правильность найденных реакций опор.

Используем уравнение (5):

.

Следовательно, реакции R_Ax и R_Bx определены верно.

Используем уравнение (6):

.

Следовательно, реакции R_Ay и R_By определены верно.

____________