Контрольная работа № 1 по дисциплине «Основы технической механики»

Задача 1. Показать реакции, возникающие при взаимодействии двух тел и указать их направление (рис. 1.1)^*.

Рис. 1.1

Указания. Различают следующие основные виды связей и их реакций (без учета трения):

1. Гибкие связи (нить, трос, цепь, канат) (рис. 1.2, а). Реакции этих связей направлены вдоль их продольной оси и приложены к телу в точке крепления. Работают они только на растяжение.

Рис. 1.2. Направление реакций различных связей

2. Если, например, тело опирается на гладкую поверхность в точках А и В и удерживается от скольжения нитью CD, то и — реакции опорных поверхностей, а — реакция нити. Они направлены так, как показано на рис. 1.2, б.

3. Если тело опирается на ребро двугранного угла (опорная точка) (рис. 1.2, в), то реакция ребра направлена нормально к поверхности тела в точке касания.

4. Связь, осуществляемая жесткими стержнями с шарнирным закреплением концов (рис. 1.2, г). Реакции стержней направлены по их продольным осям: — реакция растянутого стержня, и — реакции сжатых стержней.

5. Неподвижный шарнир (шарнирно-неподвижная опора) состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна обойма (рис. 1.3, а) закреплена на балке АВ, а другая — на неподвижном основании. Кроме того, шарнирное соединение может выполняться с помощью пальца, вставленного в цилиндрические отверстия стержня С и опоры D (рис. 1.3, б). Балка АВ и стержень С могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Другие перемещения исключены [11].

Рис. 1.3. Шарнирно-неподвижная опора: а — схемы; б — направления реакций; в — условные обозначения

Направление реакции связи заранее неизвестно. Эта реакция действует в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Для неподвижного шарнира она может быть представлена двумя составляющими по координатным осям (рис. 1.3, б):

(1.1)

6. Подвижный шарнир (шарнирно-подвижная опора). Нижняя обой­ма в опоре А (рис. 1.4, а) установлена на цилиндрические катки. Поэтому балка АВ имеет возможность поворачиваться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков.

7. Сферический шарнир. Такая связь допускает вращение соединяемых тел относительно трех координатных осей, но без перемещения вдоль этих осей (рис. 1.5). Реакция связи проходит через центр шарнира, а ее направление в пространстве может быть любым. Поэтому реакция сферического шарнира определяется составляющими по координатным осям: и равна:

. (1.2)

y

Рис. 1.4. Шарнирно-подвижная опора: а — схема и направления реакций; б — условные обозначения

Рис. 1.5. Сферический шарнир (а), его условное обозначение (б) и направление реакций (в)

8. Подпятник (рис. 1.6). Упорный подшипник, или подпятник, препятствует осевым и радиальным перемещениям тел, например, вала. Реакция его может иметь произвольное направление в пространстве и определяется через составляющие .

Рис. 1.6. Подпятник (а), его условное обозначение (б) и направление реакций (в)

9. Заделки.

Глухая заделка, или жесткое защемление (рис. 1.7, а), исключает любые перемещения тела. Примером такой связи является соединение двух стержней с гарантированным натягом. При действии на балку плоской системы сил в заделке возникает пара сил с реактивным моментом и произвольно направленная реакция с составляющими и .

Рис. 1.7. Заделки, их условное обозначение и направление реакций

Скользящая заделка (рис. 1.7, б) допускает осевое перемещение стержня, система реакций состоит из силы и пары сил с момен­том .

Свободная заделка (рис. 1.7, в) не препятствует перемещениям стержней вдоль своих осей, но исключает возможность их поворота. Поэтому если не учитывать массу балки, в такой заделке возникает только реактивный момент .

Задача 2. Определить класс кинематической пары, образованной звеньями 1 и 2. Указать, какие из шести независимых движений (трех поступательных и трех вращательных) одного звена относительно другого невозможны в кинематической паре (рис. 1.8) [3].

Рис. 1.8

Указания. Для ответа на вопрос, к какому классу относится та или иная кинематическая пара, следует поступать так. Одно из звеньев, входящих в кинематическую пару, представить неподвижным. Связать с ним пространственную систему координат Оxyz и, ориентируясь по ней, проследить, какие движения другого звена пары невозможны из шести возможных поступательных и вращательных движений, которые оно имело бы возможность совершать, не входя в пару. Число этих невозможных движений S_Σ (как равное числу связей в паре) представит собой номер класса пары.

Пример. На рис. 1.9 изображена низшая (сферическая) кинематическая пара.

Рис. 1.9

Элементом этой пары на звене 1 является сферическая поверх­ность радиуса R, а на звене 2 – сферическая поверхность того же ра­диуса R, охватывающая сферическую поверхность на звене 1. Прове­дя через центр О сферы прямоугольную систему координат Оxyz, свя­занную со звеном 1, замечаем, что звено 2 не может перемещаться поступательно вдоль осей Оx, Oy, Oz (S_n = 3), но может свободно вращаться вокруг этих же осей (S_в = 0). Следовательно, эту кинема­тическую пару надо отнести к третьему классу (невозможны три из шести движений), т.е.

.

Степень подвижности пары:

,

т. е. эта кинематическая пара допускает три независимых движения.

Рис. 1.10

Задача 3. Определить степень подвижности плоского механизма, со­ставить его структурную формулу и найти класс механизма (рис. 1.10). Рас­смотреть два варианта анализа: а) ведущее звено – 2; б) ведущее звено – 6.

Указания. Структурный анализ механизма состоит в определении его класса и выполняется в такой последовательности:

1. Вычерчивается структурная схема механизма.

2. Определяется степень подвижности механизма W по формуле П. Л. Чебышева. Звенья, образующие пассивные связи и вносящие лишние степени свободы, при подсчете W не учитываются. При наличии в механизме пар четвертого класса строится заменяющий механизм.

3. Выбирается начальный механизм (если W = 1) или начальные механизмы (W > 1).

4. Производится отделение групп Ассура.

5. Записывается структурная формула механизма и указывается его класс.

Этот класс соответствует наивысшему классу группы Ассура, которая входит в его состав. Следует иметь в виду, что изменением ведущего звена можно либо повысить, либо понизить класс механизма. Поэтому при всех прочих равных условиях он зависит и от выбора ведущего звена. Кинематический и силовой анализы механизма усложняются с повышением его класса, следовательно, всегда надо стремиться выбирать ведущее звено так, чтобы этот класс оказался наинизшим из всех возможных для данной кинематической схемы механизмов.

Пример. На рис. 1.11 показана схема механизма конхоидографа с ведущим звеном в двух вариантах: а) звено 1; б) звено 4 [3].

Решение.

1. Определяем степень подвижности механизма по формуле Че­бышева:

, (1.3)

где n – число подвижных звеньев; n = k – 1 (k – общее число звеньев, включая стойку);

P₄, P₅ — число кинематических пар четвертого и пятого классов.

Рис. 1.11. Механизм конхоидографа

Так как k = 6, n = 5, p₅ = 7, p₄ = 0, то, следовательно:

.

2. Так как W = 1, то в таком механизме должно быть одно ведущее звено (один начальный механизм). Рассмотрим два варианта анализа:

а) ведущее звено 1;

б) ведущее звено 4.

3. Выделим начальные механизмы (вращательные) и разложим оставшуюся кинематическую цепь на группы Ассура. По варианту а от механизма можно отделить только кинематическую цепь, состоящую из звеньев 2, 3, 4 и 5. Эта цепь представляет собой группу Ассура третьего класса третьего порядка, так как в ней три внутренние кинематические пары (вращательные пары D, C и поступательная Е) и три внешние (вращательные пары B, G и F). По варианту б от механизма по­следовательно отделяются группы Ассура второго класса, состоя­щие из звеньев 1 и 2, 3 и 5.

4. Формула строения механизма запишется так:

● при ведущем звене 1: ; механизм третьего класса;

● при ведущем звене 4: ; механизм второго класса.

В этих формулах римские цифры I, II, III обозначают соответственно начальный механизм первого класса и присоединяемые структурные группы второго и третьего классов. Индексы указывают, какие звенья образовали начальный механизм и присоединяемые группы.

Задача 4. Определить проекции силы (знак и величину) на осях Oх и Oy (рис. 1.12). Данные для вариантов 1 – 10 – в табл. 1.1. Угол откладывать от оси Ox в направлении стрелки.

Таблица 1.1

	Параметр	Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	F, H	5	10	20	40	60	30	80	2	90	100
	α, град.	210	30	45	60	90	120	240	300	180	210

Рис. 1.12

Указания. Проекция силы на ось есть расстояние между двумя перпендикулярами, опущенными на данную ось из начала и конца вектора силы. Проекция положительна, если направление вектора силы совпадает с положительным направлением оси; отрицательна, если не совпадает, равна нулю, если перпендикулярна оси.

Задача 5. Определить величину и направление равнодействующей двух сходящихся сил (рис. 1.13). Данные для вариантов 1 – 0 – в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Рис. 1.13	Параметр	Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	F1 , Н	10	20	40	30	16	24	36	18	6	4
	F2 , Н	4	6	8	10	12	16	18	20	22	24
	α, град.	30	45	00	90	60	180	120	210	45	60
	β, град.	90	30	60	120	150	270	225	30	90	90

Указания. Вектор равнодействующей и ее значение определяются по формулам:

, , (1.4)

где – угол между силами и .

Задача 6. Определить величину и направление нормального, тангенциального и полного ускорений точки В, движущейся по окружности радиуса R (рис. 1.14). Данные для вариантов 1 – 0 – в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Рис. 1.14	Параметр	Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	R, м	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1
	ω, рад/с	2	3	4	2	3	4	2	3	4	2
	ε, рад/с2	3	2	1	3	2	1	3	2	1	3
	α, град.	30	45	90	120	135	135	180	210	225	270

Примечания.

1. Угол α откладывать в направлении стрелки.

2. Направление вращения точки В для четных вариантов выбирать по часовой стрелке, для нечетных — против.

3. Движение равноускоренное для четных и равнозамедленное для нечетных вариантов.

Указания. Движение твердого тела называют вращательным, если в движущемся теле или вне его имеется ось вращения, которая при вращении остается неподвижной, а плоскость, проведенная через эту ось и произвольную точку тела, совершает поворот вокруг оси [10].

Законом, или уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, называют равенство, при помощи которого задается угол поворота тела как функция времени, т. е. . Угол поворота измеряется в радианах (рад) — безразмерных единицах. Быстроту и направление вращения тела характеризует угловая скорость , равная первой производной по времени от угла поворота:

. (1.5)

Траекторией любой точки А, принадлежащей вращающемуся телу К и отстоящей от оси вращения О₁ на расстоянии r, является окружность радиуса r (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Скорость (а) и ускорение (б) точки вращающегося тела

Если за время t тело повернулось на угол и имеет в этот момент угловую скорость и угловое ускорение , то:

а) линейное перемещение точки (длина дуги) равняется

; (1.6)

б) ее линейная скорость определяется по формуле:

(1.7)

и направлена по касательной к окружности и в сторону вращения. Так как , то для определения линейной скорости на ободе диаметром d часто используют выражение:

; (1.8)

в) тангенциальное (касательное) ускорение

(1.9)

по направлению совпадает со скоростью V при ускоренном вращении и противоположно вектору скорости при замедленном вращении;

г) нормальное ускорение

(1.10)

всегда направлено по радиусу r к оси вращения;

д) ускорение точки А равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений, т. е. . Модуль ускорения определяют по формуле:

. (1.11)

Ускорение отклонено от нормали к траектории на некоторый угол, определяемый из соотношения:

. (1.12)

Основные кинематические элементы вращательного движения: уг­ловое перемещение (рад), угловая скорость (с^–1), угловое ускоре­ние (с^–2), число оборотов n (об/мин).

Если и направлены в одну сторону ( > 0, > 0 или  < 0,  < 0), то вращение ускоренное, если в разные стороны ( < 0, > 0 или > 0, < 0), то замедленное. Отметим, что положительный и отрицательный знаки , и определяются совпадением или несовпадением их направлений с выбранным направлением отсчета углов поворота.

Частные случаи вращения тела:

1. Если , т. е. , то вращение тела равномерное. В этом случае , где — начальная угловая скорость.

2. Если , то вращение тела называют равнопеременным.

В этом случае

, . (1.13)

Пусть некоторое тело за время t повернулось на угол , увеличив свою угловую скорость с начального значения до конечного , при этом угловое ускорение составляло . Полный угол поворота определим по формуле или, введя среднюю угловую скорость из выражения:

. (1.14)

Так как , то угол поворота можно выразить иначе:

. (1.15)

Задача 7. Определить передаточное отношение многоступенчатой зубчатой передачи. Найти частоту вращения ведомого зубчатого колеса, если число оборотов ведущего n₁= 15 об/мин (рис. 1.16).

Указания. Передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению передаточных отношений отдельных одноступенчатых передач, образующих эту передачу и взятых со своим знаком (+, –).

Для определения числа ступеней в такой передаче можно руковод­ствоваться следующим правилом: число ступеней равно числу неподвижных осей в передаче без единицы.

Если многоступенчатая передача образована цилиндрическими зубчатыми колесами, то знак ее передаточного отношения будет зависеть от знаков одноступенчатых передач, вошедших в ее состав.

Если же эта передача составлена из конических зубчатых колес, причем оси колес 1 и 3 параллельны, то знак ее следует определить по правилу стрелок (рис. 1.17).

Рис. 1.16

Пример. Ознакомимся с правилом стрелок на примере передачи, показанной на рис. 1.17. В ней движение от колеса 1 передается к колесу 2, а от него к колесу 3. Оси колес 1 и 3 лежат на одной прямой. В этом случае их угловые скорости можно считать алгебраическими величинами и знак передаточного отношения определится следующим образом. Около места зацепления колес 1 и 2 на колесе 1 ставим стрелку а, направленную к месту зацепления колес, а на колесе 2 стрелку б, также направленную к месту зацепления колес [10].

Рис. 1.17. Определение передаточного отношения по правилу стрелок

Затем переносим стрелку б параллельно самой себе к месту зацепления колес 2 и 3. Перенесенная стрелка будет направлена от места зацепления этих колес, поэтому на колесе 3 ставим стрелку в, также направленную от места зацепления указанных колес. Сравнивая направление стрелок а и в на колесах 1 и 3 устанавливаем следующее правило: если эти стрелки направлены в одну сторону, то знак у передаточного отношения положительный, а если в разные, то отрицательный. В рассматриваемом примере эти стрелки имеют разные направления, т. е. колеса 1 и 3 вращаются в разные стороны. Следовательно, знак у отрицательный.

Пусть Z₁ = 20, Z₂ = 40, Z₃ = 20, n₁ = 10 об/мин.

Тогда . Так как , то .

Таким образом, частота вращения звена 3 составляет 10 об/мин.