- •Элементы математической статистики
- •Введение
- •Задание 1. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 7.
- •Задание 5. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
- •2.По какой формуле определяется относительная частота события. Практическое занятие 2 Математическое ожидание и теоретическая дисперсия дискретной случайной величины
- •Пример 2
- •Пример 2
- •Задание 1.Случайная величина задана законом распределения
- •Пример 1
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Задание 4. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм.): 92;94;103;105;106.
- •Список литературы
- •Содержание
- •Элементы математической статистики
- •Рецензия
Пример 2
Дисперсия случайной величины D(X)=6,25. Найти среднее квадратическое отклонеие этой величины.
Решение: По определению среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно:
Ответ:
Задание 1.Случайная величина задана законом распределения
-
X
2
4
8
P
0,1
0,5
0,4
Найти среднее квадратическое отклонениеэтой велтчины.
Ответ: (X)=2,2.
Задание 2. Известны дисперсии трех независимых случайных величин: D(X)=2,2; D(Y)=9; D(Z)=13,8.
Найти среднее квадратическое отклонение суммы этих трех величин.
Ответ: =5.
Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X которые имеют одинаковые распределения, а слеовательно, и одинаковые характероистики (математическое ожидание, дисперсию и др.)
Обозначим среднее арифмитическое рассматриваемых случайных величин через :
Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин: M(
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин: D(
Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:
Вывод: Среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньше рассеяние, чем каждая отдельная величина.
Пример 1
Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.
Решение: По определению дисперсия среднего арифметического случайных величин имеем: D(
Ответ: D(X)=4.
Задание 1.Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.
Ответ:
Задание 2.Среднее квадратическое отклонение отдельного измерения =6м, а всего произведено n=36 измерений. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений.
Ответ:
Контрольные вопросы
1.Дать определение математическому ожиданию дискретной случайной величине.
2.Перечислите свойства математического ожидания
3.Дать определение дисперсии, среднего квадратического отклонения
4.Перечислите свойства дисперсии.
Практическое занятие 3 Элементы математической статистики
Выборочный метод.Статистическое распределение выборки.
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка x объема n. Наблюдавшиеся значения x признака x называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант x вариационного ряда и соответствующих им частот n (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот W (сумма всех относительных частот равна единице). .
Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).
Пример 1. Выборка задана в виде распределения частот:
-
x
2
5
7
n
1
3
6
Найти распределение относительных частот.
Решение. Найдем объем выборки: n=1+3+6=10. Найдем относительные частоты: W
W W W
Напишем искомое распределение частот:
-
x
2
5
7
W
0,1
0,3
0,6
Проверка:
Пример 2
Выборка задана в виде распределения частот:
-
x
4
7
8
12
n
5
2
3
10
Найти распределение относительных частот.
Решение: Найдем объем выборки: n=
Найдем относительные частоты: W W W W
Напишем искомое распределение частот:
-
x
4
7
8
12
W
Проверка: .
Эмпирическая функция распределения.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x: F*(x)= где n -число вариант, меньших x; n -объем выборки.
Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:
Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1].
F*(x)-неубывающая функция.
Если x - наименьшая варианта, а x - наибольшая, то F*(x)=0 при x x и F*(x)=1 при x>x