Пример 2

Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

Решение. Найдем мат. ожидание: M(X)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5.

Напишем закон распределения случайной величины X :

X	4	9	25
P	0,1	0,6	0,3

Найти математическое ожидание M(X ):

M(X )=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3

Искомая дисперсия (по теореме) равна:

D(X)=M(X =1,05.

Ответ: 1,05

Пример 3

Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

X	-1	1	2	3
P	0,48	0,01	0,09	0,42

Y	-1	1	2	3
P	0,19	0,51	0,25	0,05

Решение. Легко убедиться, в том что

M(X)=-1*0,48+1*0,01+2*0,09+3*0,42=0,97;

M(X )=1*0,48+1*0,01+4*0,09+9*0,42=0,49+0,36+3,78=4,63;

M(Y)=-1*0,19+1*0,51+2*0,25+3*0,05=0,97.

M(Y )=1*0,19+1*0,51+4*0,25+9*0,05=0,7+1+0,45=2,15;

А дисперсии примерно равны: D(X)=4,63-0,9409=3,6891;

D(Y)=2,15-(0,97) =1,2091

D(X) 3,69

D(Y) 1,21.

Таким образом, возможные значения и мат. ожидания X и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем D(X) D(Y).

Ответ: D(X) D(Y).

Следствия из 1-4 дисперсии:

1. D(C+X)=D(X), C-const;

2. D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z).

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины C равна нулю: D(C)=0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=C D(X).

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y).

4.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна.

Теорема 3. Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность P появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании: D(X)=n*p*q. /q=1-p/

Пример 1. Производится 12 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,3. Найти дисперсию случайной величины X –числа появлений события в этих испытаниях.

Решение: Дано: n=12, p=0,3.

Вероятность непоявления события q=1-p=1-0,3=0,7.

Дисперсия D(X)=n*p*q= 12*0,3*0,7=2,52.

Ответ: 2,52.

Задание 1. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X –числа появлений события в этих испытаниях.

Ответ: 2,4.

Задание 2.Известны дисперсии двух независимых случайных величин: D(X)=4, D(Y)=3. Найти дисперсию суммы этих величин.

Ответ: 7.

Задание 3. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: a) X-1; b) –2X; c) 3X+6.

Ответ: 5; 20; 45.

Задание 4.Случайная величина X принимает только 2 значения: +C и –C, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Ответ: C .

Задание 5. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения:

X	0,1	2	10	20
P	0,4	0,2	0,15	0,25

Ответ: 67,6404.

Задание 6. Случайная величина X может принимать 2 возможных значения: x с вероятностью 0,3 и x с вероятностью 0,7, причем x . Найти x и x , зная, что M(X)=2,7 и D(X)=0,21.

Ответ: x x .

Задание 7. Найти дисперсию случайной величины X-числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.

Ответ: 21.

Задание 8. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы; p =0,3; p p p Найти математическое ожидание и дисперсию числа оказавших приборов.

Ответ: M(X)=1,8; D(X)=0,94.

Среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X есть квадратный корень из дисперсии: .

,

где X -случайные величины.

Пример 1.Случайная величина X задана законом распределения:

X	2	3	10
P	0,1	0,4	0,5

Найти среднее квадратическое отклонение (X).

Решение: Найдем математическое ожидание X:

M(X)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4;

Найдем математическое ожидание X :

M(X Тогда дисперсия случайной величины X:

D(X)=M(X

Искомое среднее квадратическое отклонение X:

(=3,6111)

Ответ: