Задание 5. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

Ответ:0.5.

Задание 6. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескоп Львовского завода.

Ответ:.

Задание 7. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

Ответ:

Задание 8. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенные изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

Ответ:a) , б) ,в)

Контрольные вопросы

1.Что такое вероятность?

2.По какой формуле определяется относительная частота события. Практическое занятие 2 Математическое ожидание и теоретическая дисперсия дискретной случайной величины

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы:

Х	Х1	Х2	…	Xn
P	Р1	P2	…	Pn

Где

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М(Х)= .

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной : М(С)=С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х₁Х₂ …Х_n)=М(Х₁ )*М(Х₂ )…М(Х_n).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения законом распределения:

А)

Х	-4	6	10
Р	0,2	0,3	0,5

Б)

Х	0.21	0.54	0.61
Р	0,1	0,5	0,4

Решение. А) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности: М(Х)=-4*0,2+6*0,3+10*0,5=6.

Задание 1. Найти математическое ожидание случайной величины Z , если известны математические ожидания Х и У: А) Z=X=2Y , М(Х)=5, М(У)=3; б) Z=3X+4Y, М(Х)=2, М(У)=6.

Ответ:11

Задание 2. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃, зная, что М(Х)=8.

Ответ:х₃=21; р₃=0,2.

Задание 3. Дан перечень возможных значений дискретной величины Х: х₁=1, х₂=2, х₃=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=2.3, М(Х²)=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Ответ:р₁=0,2; р₂=0,3; р₃=0,5.

Задание 4. Дан перечень возможных значений дискретной величины Х: х₁ =-1 , х₂ =0, х₃=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=0,1, М(Х²)=0,9. Найти вероятности р_1, р_2, р_3, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х ₃.

Ответ: р₁=0,4; р₂=0,1; р₃=0,5.

Задание 5.Используя свойство математического ожидания, доказать, что а) М(Х-У)= М(Х)-М(У); б) математическое ожидание отклонения Х-М(Х) равно нулю.

Задание 6. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х-числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Ответ: 3/5

Задание 7. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х- -числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Ответ:M(x)=nP=20

Задание 8. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Ответ:М(х)=(7/2)n

Задание 9. Случайная величина Х принимает значения 3 и 4 с равными вероятностями случайная величина У принимает значения 1 и 2 также с равными вероятностями. Величины Х и У распределены независимо друг от друга. Переменная Z определяется как Z=X/Y и имеет четыре возможных значения? Каждое с вероятностью 0,25:

Х У	3 1	4 2
1 2	3,0 1,5	4,0 2,0

Покажите, что E(Z) не равно Е(Х)/Е(У).

Дисперсия дискретной случайной величины

Пусть X –случайная величина и M(X)-ее математическое ожидание.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием X - M(X).

Если у X закон распределения:

X	x	…	x
P	p	…	p

то у отклонения закон распределения:

X-M(X)	x	….	x
P	p	….	p

Теорема 1. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[X-M(X)]=0

Иногда вместо термина «отклонение» используют термин «центрированная величина».

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M(X )-[M(X)] .

Теорема 2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: .

Пример 1

Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2	/через отклонение/

Решение: Найдем математическое ожидание:

M(X)=1*0,3+2*0,5+5*0,2=2,3.

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

[x

[x

[x

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[X-M(X)]	1,69	0,09	7,29
P	0,3	0,5	0,2

По определению, d(X)=1,69*0,3+0,09*0,5+7,29*0,2=2,01.

Ответ: 2,01.