3 Выборочная ковариация. Выборочная дисперсия. Коэффициент корреляции

3.1 Выборочная ковариация

Для изложения идей и понятий регрессионного анализа необходимо ввести понятия ковариации и корреляции [5,15].

Различают выборочную и теоретическую ковариацию.

Выборочной ковариацией двух переменных х и у называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т.е.

Или ,

где , - выборочные средние переменных х и у.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Пусть данные наблюдений переменных х и у представлены в виде точечного графика - диаграммы рассеяния наблюдений (рисунок 3.1).

Точка на диаграмме является центром рассеяния переменных (центром тяжести совокупности точек, представляющих наблюдения).

Вертикальная и горизонтальная прямые, проведенные через точку разделяют диаграмм рассеяния на 4 области. Наблюдения в I и III областях дают положительный вклад ковариацию, а во II и IV областях - отрицательный.

Если положительные вклады преобладают над отрицательными, то ковариация будет положительной, в противном случае она будет отрицательной.

Рисунок 3.1

При положительной (прямой) связи с увеличением одной переменной другая переменная в среднем также увеличивается и наоборот при отрицательной связи.

Правила расчета ковариации.

1) .

2) Если , то .

3) , где а –const.

4) , где b-const.

5) .

Теоретической ковариацией случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их средних значений, т.е,

,

где .

В записи символ означает, что рассматривается по генеральной совокупности.

Свойства теоретической ковариации:

1. 

2. если случайные величины и независимы, то

Доказательство:

Правила вычисления теоретической ковариации точно такие же, как и для выборочной ковариации.

Пример 3.1. В некоторой бюрократической стране годовой доход каждого индивида у определяется по формуле: у = 10000+500s + 200t, где s – число лет обучения индивида; t – трудовой стаж(в годах); х – возраст индивида. Рассчитать cov (x, y ), cov (x, s), и cov (x, t) для выборки из пяти индивидов, описанной в таблице 3.1, и проверьте, что cov(x, y) = 500cov(x, s) + 200cov(x, t).

Таблица 3.1

индивид	Возраст (годы), х	Годы обучения, s	Трудовой стаж, t	Доход, у
1	18	11	1	15700
2	29	14	6	18200
3	33	12	8	17600
4	35	16	10	20000
5	45	12	5	17000
n=5

Объясните аналитически, почему так происходит.

Решение.

Вычислим средние значения: , , , .

Cov(x, y) = 4840

Cov(x, y) = 500 cov(x, s) +200 cov(x, t) = 500*4+200*14.2 = 4840

4840 = 4840.