4. Матричный метод оценки параметров лазерного излучения

4.1. Оценка характеристик оптического резонатора.

Воспользуемся методами матричной оптики и элементами теории оптических резонаторов для оценки параметров лазерного излучения. Оценка выполняется в приближении, что внутри резонатора возбуждается основная мода ТЕМ₀₀.

На рис.7 показано схематически устройство типового оптического резонатора с активной средой.

Рис.7

Основные параметры оптического резонатора: длина резонатора – L; радиусы кривизны зеркал – r₁ и r₂. Активная среда имеет длину b и показатель преломления n.

Поскольку стрежень активной среды эквивалентен плоскопараллельной пластине, матрица перемещения луча между зеркалами резонатора, содержит приведенную длину

(17)

С учетом приведенной длины резонатора схема устройства приобретает вид, показанный на рис.8.

Рис. 8

На рис.8 введены следующие обозначения: P₁=2/r₁ и P₂=2/r₂ – оптическая сила зеркал резонатора; Т - приведенная длина резонатора.

Нас интересует конфигурация световых волн излучаемых через выходное зеркало З₂. Разместим опорную плоскость ОП₁ на поверхности зеркала З₂ и будем рассматривать исходный луч , который падает на ОП₁ в положительном направлении оси z после выхода из активной среды. Часть энергии излучения после отражения от выходного зеркала З₂ распространяется в обратном направлении. Излучение проходит через активную среду к зеркалу З₁ системы, затем возвращается и вновь проходит через активную среду к выходному зеркалу.

Если расположить вторую опорную плоскость ОП₂ таким образом, что она совпадает с ОП₁ то можно записать полную матрицу преобразования лучей М, связывающую опорные плоскости ОП₁ и ОП₂ и представляющую «полный проход» излучения через резонатор:

(18)

где A, B, C, D – постоянные оптических элементов модели резонатора (передаточные отношения оптических элементов).

Матрицу М, полученную в результате преобразований, следует проверить на равенство определителя единице, т.е. должно выполняться условие:

(19)

Если условие выполняется, тогда ее можно использовать в уравнении преобразования луча:

Мы фактически имеем достаточно информации для расчета одного прохода луча через данную систему.

Для того чтобы рассчитать изменение параметров луча вследствие N последовательных полных проходов через резонатор, нужно возвести полную матрицу преобразования лучей М в N–ю степень. С этой целью используем метод диагонализации матрицы:

, ,

(20)

Собственные значения матрицы , т.е. ₁ и ₂ можно определить, используя след матрицы М:

(21)

В зависимости от значения следа матрицы М резонатор относится к группе устойчивых или неустойчивых резонаторов.

Если выполняется условие

(22)

система относится к группе устойчивых, в этом случае >>0 и

(23)

где величина  определяется через тригонометрический косинус и след матрицы

.

(24)

Если система относится к группе неустойчивых резонаторов, выделяют два вида условий:

либо , тогда , либо , тогда ,

(25)

где величина t определяется через гиперболический косинус и след матрицы

.

(26)

Для конкретной геометрии системы, которую мы выбрали, можно определить число полных проходов (N) излучения через резонатор, для которого матрица преобразования лучей равна единичной матрице I, т.е.

(27)

В этом случае, какой бы параксиальный луч в резонаторе мы не выбрали, после N полных проходов через резонатор, его направление совпадает с первоначальным направлением.

Пусть М – унимодулярная матрица, с собственными значениями exp(j), тогда можно записать¹:

(28)

Заменяя тригонометрические функции  соответствующими гиперболическими функциями от t, этот же результат можно использовать для вычисления N-го прохода луча через неустойчивый резонатор:

(29)