Вопрос 35. Длина дуги кривой

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.

Евклидово пространство

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных. Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая   задана параметрически:

,

(1)

Приближение кривой ломаными

где  . Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра   на  отрезков:  . Соединив точки кривой   отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если все функции в (1) являютсяфункциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна. В математическом анализе выводится формула для вычисления длины  отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

(2)

Формула подразумевает, что   и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

.

Можно также вычислить длину кривой   через криволинейный интеграл I рода:

Длина дуги как параметр

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

Среди преимуществ такой параметризации:

1. Производная радиус-вектора   имеет единичную длину и поэтому совпадает с единичным вектором касательной.

2.  по длине совпадает с кривизной кривой, а по направлению — с её главной нормалью.

Евклидова плоскость

Если плоская кривая задана уравнением   то её длина равна:

В полярных координатах 

Пример:

Пример 1:Вычислить длину дуги кривой  , заключенной между точками с абсциссами  ,  .

 Р е ш е н и е. Так как  , то 

.

Следовательно,

.

  Пример 2. Вычислить длину дуги кривой  , заключен­ной между точками с ординатами   и  .

 

 Р е ш е н и е. В этой задаче удобнее за независимую переменную принять у: тогда   и 

.

  Следовательно,

.

http://www.youtube.com/watch?v=EGXkjdYIEck ( онлайн-урок)

Вопрос 36. Обьем тела вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости^[1].

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс  ; – вокруг оси ординат  .

В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь кзадаче нахождения площади фигуры, и расскажу вам, как находить площадь вторым способом – по оси  . Даже не столько бонус, сколько материал удачно вписывается в тему.

Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.