3. Элементы теории оптических резонаторов

Оптический резонатор – колебательная система, предназначенная для усиления излучения на резонансной частоте перехода и формирования модовой и пространственной структуры этого излучения. Общий вид оптического резонатора приведен на рис.2.

Рис.2.

На рис.2 приведены следующие обозначения: L – длина резонатора на оптической оси; r₁, r₂ – радиусы кривизны зеркал (для вогнутого зеркала r>0, а для выпуклого – r<0); ₁, ₂ – коэффициенты отражения зеркал (для правого зеркала ₁=1, такое зеркало называется «глухое» или заднее зеркало резонатора, а для левого ₂=0.5, такое зеркало называется «полупрозрачное» или выходное зеркало резонатора).

Для качественной оценки резонаторов с точки зрения вносимых им потерь удобно воспользоваться обобщенными параметрами:

,

(14)

На рис.3 приведена g - диаграмма оптических резонаторов. Каждой точке диаграммы соответствует резонатор определенной конструкции.

Рис.3

С точки зрения потерь в резонаторе, на g-диаграмме выделяют две области:

1. область устойчивых резонаторов, для которых выполняется условие

,

(15)

малые потери в резонаторе достигаются за счет того, что излучение, последовательно отражаясь от зеркал, остается все время в пределах ограниченной области внутри резонатора вблизи его оси;

2. область неустойчивых резонаторов, для которых выполняется условие

(16)

в таких резонаторах излучение после отражения от зеркал удаляется от его оси на неограниченное расстояние, что и приводит к большим потерям.

В резонаторах, с учетом активной среды, происходит как усиление мощности излучения, так и ее потеря. Для обеспечения генерации необходимо, чтобы выполнялось условие:

,

где  - начальный коэффициент усиления активной среды, _ - линейный коэффициент вредных потерь , _p - линейный коэффициент полезных потерь связанных с отражением излучения на зеркалах резонатора.

Нормальные типы колебаний оптического резонатора называются модами. Мода резонатора характеризуется определенной конфигурацией поля по поверхности зеркал и определенным числом полуволн, укладывающихся на длине резонатора. Отдельные моды принято обозначать как TEM_mnq, где m, n – поперечные индексы моды, а q – продольный индекс моды. Отсюда выделяют продольные и поперечные моды. Поперечная мода TEM₀₀₀ называется основной модой.

Пространственная структура выходящего из резонатора излучения определяется размером пятна, радиусом кривизны поверхности постоянной фазы в каждом сечении, взятом на оси вдоль распространения луча, а также угловой расходимостью излучения.

При описании структуры поля светового пучка формируемого в неустойчивом резонаторе используется линейная модель, а для устойчивого резонатора – модель гауссова пучка.

Для гауссовых пучков характерно быстрое уменьшение амплитуды поля при удалении от оси. Амплитуда поля изменяется в соответствии с функцией Гаусса (рис.4):

,

где w – эффективный радиус пучка.

Рис. 4

На рис.5 показано поведение гауссова пучка для основной моды.

Рис.5

Кривая, определяющая уровень постоянной интенсивности пучка или его радиус, на котором квадрат амплитуды уменьшается в е² раз, представляет собой гиперболу. В точке z=0 («перетяжка пучка») она имеет минимальное расстояние от оси z, равное W₀. Вблизи перетяжки гауссова пучка поверхности постоянной фазы являются плоскостями, а в точках  z₀ их кривизна достигает максимального значения. Центральную область длиной 2z₀, в которой сечение пучка остается практически постоянным, иногда называют «ближней зоной» («ближним полем»), а область, в которой происходит асимптотическое расширение, - «дальней зоной». Распределение интенсивности поля в поперечном и продольном направлениях определяется комплексным параметром кривизны 1/q(z). Основные параметры гауссова пучка приведены в таблице 2.

Табл. 2

Параметр	Значение	Формула
w0	Радиус перетяжки, т.е. радиус пучка в плоскости (z=0) в которой световой пучок является плоской волной
W(z)	Радиус пучка, определяемый по уровню 1/е
R(z)	Радиус кривизны поверхностей постоянной фазы
z0	Радиус дифракционной расходимости пучка
	Асимптотический угол расходимости пучка
q(z)	Комплексный параметр кривизны

Зависимость модуля амплитуды поля основной моды от поперечных координат описывается функцией Гаусса:

.

В случае мод более высокого порядка амплитуда поля гауссова пучка выражается обычно через произведение функции Гаусса и полиномов Эрмита H_m:

.

Пример сечение гауссова пучка для основной моды TEM₀₀ внутри устойчивого резонатора приведено на рис. 6.

Рис.6