2. Кратные интегралы вероятностей
Кратными интегралами вероятностей называются функции, определяемые выражениями:
,
,
(3.10)
………………………………………
.
По
определению принимается:
,
.
Графики кратных интегралов вероятностей выглядят следующим образом:
Рис.
3.2. Кратные интегралы вероятностей
.
Значения в нуле:
,
(3.11)
где
–
гамма-функция. В частности,
,
.
Значения
на бесконечности:
.
Рекуррентные
соотношения позволяют выразить кратные
интегралы
друг через друга, понижая значение п.
Для п
=1 и п=2:
,
(3.12)
.
(3.13)
Для произвольных значений п рекуррентные соотношения можно найти в справочнике [8].
Производные:
,
(3.14)
Интегралы вероятностей присутствуют во многих выражениях, являющихся решениями теплофизических задач нагревания вещества лазерным излучением, например в следующих.
1. На
поверхность металла или другого сильно
поглощающего материала падает пучок
лазерного излучения. Радиус облученной
области
достаточно
велик:
(где
а
–
температуропроводность материала,
–
время
воздействия излучения). Плотность
мощности падающего
излучения
постоянна во времени и
по
сечению пучка. При этом
распределение температуры по глубине
материала имеет вид:
,
(3.15)
где
А
–
поглощательная
способность материала, k
–
его теплопроводность,
t
– время от начала воздействия, ось у
направлена
от поверхности вглубь материала. Здесь
и везде
дальше температуру отсчитываем от
начального значения. Заметим, что
представление о достаточно большом
размере облученной области (
)
имеет относительный характер, в частности,
для импульсов наносекундной длительности
размер облученной области
мкм
является достаточно большим.
2. Та же ситуация, что и в примере 1, но радиус облученной области может быть любой, в том числе достаточно малый. Температура на поверхности в центре облученной области:
.
(3.16)
3. Пучок лазерного
излучения падает на поверхность тонкой
металлической пленки, находящейся на
прозрачной диэлектрической подложке.
Плотность мощности излучения постоянна
во времени и по сечению пучка. Облученная
область имеет форму круга, причем его
радиус
.
Время воздействия излучения
с.
Распределение температуры в пленке
имеет вид:
.
(3.17)
где r – радиус в полярной системе координат на поверхности пленки, полюс которой совпадает с центром облученной области, с – теплоемкость материала пленки, h – толщина пленки, – плотность пленки.
4.
Лазерное хирургическое лечение
злокачественной опухоли производится
путем введения зонда в ее центр, через
который с помощью
оптического волокна подается лазерное
излучение. Конец зонда излучает
световую энергию равномерно во все
стороны. Распределение
температуры в биоткани имеет также
сферическую симметрию и определяется
зависимостью (исключая область
):
.
(3.18)
где P – мощность излучения, r – радиус в сферической системе координат, центр которой совпадает с центром симметрии распределения интенсивности излучения.