Интегрирование в других системах координат
Рассмотрим интегрирование в полярной системе координат. Полярная система координат задается полюсом, полярной осью и единицей масштаба.
а б
Рис. 1.4. Декартовая (а) и полярная (б) системы координат.
Координаты точки в полярной и декартовой системе координат связаны соотношениями:
.
(1.14)
При
переводе интеграла из одной системы
координат в другую при
переходе от дифференциалов
и
к
новым дифференциалам
образуется сомножитель, который
называется якобианом. Для полярной
системы координат:
.
(1.15)
Примеры решения задач Задача 1
Определить
энергию импульса лазерного излучения,
если мощность
его зависит от времени следующим образом:
Вт,
1/с,
длительность импульса
с.
Рис. 1.5. К решению задачи 1.
Решение
Энергия
импульса определяется как интеграл от
мощности Р
по
времени
t
(время
действия импульса
):
.
Делаем замену переменной и пересчет пределов интегрирования:
,
.
Используя значения U и dU, получим:
.
Из
таблицы интегралов находим:
.
.
Вычислим энергию импульса, подставив в полученную формулу числовые значения. Получим Е = 0,4 Дж.
Задача 2
Определить
зависимость от времени температуры
тонкой пластины,
нагреваемой излучением равномерно по
объему, если мощность излучения
зависит от времени
,
коэффициент отражения пластины R,
а
начальная температура пластины
.
Решение
Известно,
что увеличение температуры тела на
величину
требует
затраты энергии
,
где
m
–
масса тела, с
–
его
теплоемкость.
Перейдем
к бесконечно малым приращениям:
.
Отсюда
.
Энергия и мощность связаны соотношением:
,
где
–
поглощенная мощность. Таким образом:
.
Температуру
пленки находим, интегрируя последнее
выражение.
.
Отсюда
.
Если
,
то:
.
Задача 3
Определить
мощность излучения, падающего на
поверхность, если облученная
область имеет вид круга радиуса
и
плотность
мощности излучения
в ней распределена по закону
,
где
,
–
полярные
координаты в плоскости поверхности.
Решение
Мощность излучения, падающего на поверхность, есть интеграл плотности мощности излучения по данной поверхности (в данном случае – по кругу), т.е.
.
Для гауссова распределения плотности мощности излучения
.
Проведем
замену переменной
и пересчет пределов интегрирования.
Получим:
Задачи для самостоятельного решения
Определить
энергию импульса лазерного излучения
длительностью
,
если мощность его зависит от времени
следующим образом
(1.1-1.5):
1.1.
1.4.
1.2.
1.5.
1.3.
Определить
зависимость от времени средней температуры
пластины,
нагреваемой импульсом лазерного
излучения, если коэффициент
отражения поверхности
,
а
мощность излучения, падающего на
пластину,
изменяется во времени по закону
(1.6
-1.10):
1.6. 
1.9.
1.7. 
1.10.
1.8. 
Определить, используя полярную систему координат, мощность излучения, падающего на поверхность, если облученная область имеет вид круга радиуса и плотность мощности в ней распределена по закону (1.11-1.15):
1.11.
.
1.14.
1.12.
1.15.
1.13.
