Примеры решения задач Задача 1
Определить зависимость температуры полубесконечного сильно поглощающего тела от времени и координаты при его лазерном нагреве, если плотность мощности излучения постоянна во времени и постоянна по поверхности тела.
Решение
Уравнение теплопроводности для этого случая (см. раздел 5):
.
(6.4)
Граничные
условия:
,
.
Начальное условие примем нулевым: , т.е. температуру будем отсчитывать от начального значения.
Запишем
задачу в пространстве изображений
Лапласа:
,
,
,
,
(т.к.
единице в пространстве изображений
Лапласа соответствует
).
Таким образом, изображение уравнения
(6.4) по Лапласу имеет вид:
.
(6.5)
Граничные
условия:
,
.
Итак, дифференциальному уравнению теплопроводности в пространстве изображений Лапласа соответствует обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем его решение (см. раздел 5). Характеристическое уравнение для уравнения (6.5):
.
Корни
характеристического уравнения:
.
Таким образом, общее решение уравнения (6.5) имеет вид:
.
Подставив производную от температуры по координате
в
граничное условие при
,
получим
.
Из граничного условия при
:
.
Отсюда:
.
Таким образом, Лапласов образ температуры имеет вид:
.
(6.6)
Из таблиц обратного преобразования Лапласа:
.
Следовательно:
.
В результате, проведя обратное преобразование выражения (6.6), получим температуру тела как функцию х и t:
.
(6.7)
Задачи для самостоятельного решения
Написать
в пространстве изображений Лапласа
уравнение теплопроводности
и граничные условия, описывающие
лазерный одномерный
нестационарный нагрев сильно поглощающего
полубесконечного тела, если плотность
мощности излучения зависит от времени
следующим
образом (
)
(6.1-6.5):
6.1.
.
6.2.
.
6.3.
.
6.4.
.
6.5.
.
Написать в пространстве изображений Лапласа уравнение теплопроводности и граничные условия, описывающие лазерный одномерный нестационарный нагрев слабо поглощающего полубесконечного тела, если плотность мощности излучения зависит от времени следующим образом ( ) (6.6 - 6.9):
6.6.
.
6.7.
.
6.8.
.
6.9.
.
Найти
функцию от времени по ее Лапласову
изображению (
)
(6.10-6.18):
6.10.
.
6.11.
.
6.12.
.
6.13.
.
6.14.
.
6.15.
.
6.16.
.
6.17.
.
6.18.
.
Раздел 7