4. Граничные и начальные условия
Решение дифференциального уравнения включает определенное количество произвольных постоянных. В решении уравнения (5.3) их будет 7. Одно получается при интегрировании по времени, по два – при двукратном интегрировании по каждой координате. Для определения произвольных постоянных служат начальное условие и граничные условия, по два для каждой координаты. Способ задания граничных условий зависит от характера контакта тела с окружающей средой. В классической теории теплопроводности различают граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода.
1. На
границе области Ω поддерживается
заданная температура
,
где
S
–
поверхность,
ограничивающая тело, а функция
может быть функцией времени и функцией
координат, например:
2. На
границе области Ω задан тепловой поток:
,
где
n
–
нормаль к поверхности S.
Если
,
то тепловой поток идет внутрь тела из
окружающей среды, если
–
из тела в окружающую среду.
3. На
границе области Ω происходит теплоотвод
за счет конвекции (поток пропорционален
разности температур тела и окружающей
среды
):
,
где γ – коэффициент теплоотвода.
При высоких температурах возможен также теплоотвод излучением.
Рассмотрим
граничные условия применительно к
задачам воздействия лазерного излучения.
Характерной особенностью здесь является
кратковременность воздействия: в
большинстве случаев длительность
воздействия составляет величину от
до
с. Оценим длину теплопроводности
.
Среди различных веществ самой большой
температуропроводностью обладают
металлы:
.
Значит, при действии
импульсного лазерного излучения
изменяется
у металлов
от 0,3 мкм до 0,3 мм. Тепло распространяется
от источника на расстояние
(т.е.
на 1 мкм и I
мм соответственно). Следовательно,
если расстояние от края облученной
области до края детали больше
этого значения, то размеры детали не
влияют на ее нагревание и математически
размеры такой детали считают бесконечными,
что существенно
упрощает решение. При непрерывном
лазерном воздействии необходимо строго
учитывать время экспозиции и анализировать
возможность реализации различных
механизмов теплоотвода: теплопроводностного,
конвекционного, излучением.
Другая особенность постановки граничных условий проявляется в задачах об импульсном лазерном воздействии и связана с интенсивностью воздействия. Она заключается в следующем. За время действия импульса излучения теплоотвод с поверхности тела в окружающую среду несоизмеримо меньше теплового потока, получаемого телом от лазерного излучения. Поэтому можно считать, что по всей поверхности тела, за исключением областей, где действуют источники или стоки тепла, тепловой поток равен нулю:
.
Действие источника тепла мы рассмотрим позже. Сток тепла (т.е. источник отрицательной мощности) имеет место там, где есть затраты тепла (например фазовый переход). Тепловой поток на границе тела в области стока имеет вид:
,
(5.9)
где ρ – плотность вещества, L – удельные энергетические затраты (Дж/кг), V– скорость фазового перехода (м/с). Такая запись может использоваться, если перемещение поверхности фазового перехода незначительное по сравнению с длиной теплопроводности.