Раздел 6 применение методов исследования преобразования лапласа в задачах лазерных технологий Теоретические сведения

1. Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа – это такая операция, при которой функции , определенной при , ставится в соответствие некоторая функция комплексной переменной s, причем эта операция совершается посредством интегрирования:

. (6.1)

Отметим, что не для каждой функции можно осуществить преобразование Лапласа, а именно, функция должна быть такой, чтобы сходился интеграл

(6.2)

при достаточно большом х₀ (т.е. чтобы функция не росла быстрее, чем ).

Функцию называют оригиналом, – ее изображением. Совокупность функций называют пространством оригиналов, совокупность функций называют пространством изображений. Записывают , .

Определение функции-оригинала по ее изображению называют обращением преобразования Лапласа или обратным преобразованием Лапласа. Его можно произвести по формуле (при ):

. (6.3)

На практике как прямое, так и обратное преобразование Лапласа чаще определяют по таблицам. Но так как в таблице приведены лишь основные функции, то для определения оригинала или изображения произвольной функции необходимо знать свойства преобразования Лапласа.

2. Основные свойства преобразования Лапласа

Пусть функциям , , соответствуют изображения: , , .

Оригинал Изображение 1. Свойство линейности

…………………………………………………

2. Теорема подобия

…………………………………………….…..

3. Теорема запаздывания

………………………………………………

4. Теорема смещения

………………………………………..………….

5. Дифференцирование оригинала

…………………………………………………...………

6. Интегрирование оригинала

……………………..………………………………..

7. Теорема о свертке

………………………..………….

8. Дифференцирование изображения

…………………………………..……………….……..

9. Интегрирование изображения

…………………………………………………….…….

Необходимо обратить особое внимание на свойство 5 (дифференцирование оригинала): дифференцированию функции в пространстве оригиналов соответствует алгебраическая операция умножения в пространстве изображений. Благодаря этому свойству преобразование Лапласа является одним из основных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе уравнения теплопроводности. Использование преобразования Лапласа позволяет уменьшить на единицу количество переменных, по которым производится дифференцирование. В частности, если в уравнении теплопроводности есть производные по времени и одной координате, то в пространстве изображений в соответствующем уравнении будет только производная по одной координате, т.е. уравнение теплопроводности будет обыкновенным дифференциальным уравнением, которое можно решить с использованием методов, изложенных в разделе 4.