- •Оглавление
- •Введение
- •Раздел 1 применение методов интегрирования функции в задачах лазерных технологий Теоретические сведения
- •Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование функций нескольких переменных
- •Интегрирование в других системах координат
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 2 применение методов исследования функции на экстремум в задачах лазерных технологий Теоретические сведения
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Экстремумы функции
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 3
- •Применение методов исследования интеграла вероятностей в задачах лазерных технологий
- •Теоретические сведения
- •Интеграл вероятностей и дополнительный интеграл вероятностей
- •2. Кратные интегралы вероятностей
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 4
- •Применение методов исследования линейных дифференциальных уравнений в задачах
- •Лазерных технологий
- •Теоретические сведения
- •Однородные и неоднородные уравнения
- •Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
- •3. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Задача 5
- •Решение
- •Задача 6
- •Уравнение теплопроводности. Закон Фурье
- •2. Длина теплопроводности
- •3. Частные случаи уравнения теплопроводности
- •4. Граничные и начальные условия
- •5. Источник
- •6. Уравнение теплопроводности в других системах координат
- •7. Уравнение теплопроводности при движущемся источнике тепла
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 5
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 6 применение методов исследования преобразования лапласа в задачах лазерных технологий Теоретические сведения
- •1. Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа
- •2. Основные свойства преобразования Лапласа
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 7
- •Применение метода источников
- •В задачах лазерных технологий
- •Теоретические сведения
- •Сущность метода и элементарные решения
- •2. Основные методики определения совокупности элементарных источников
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задача 4
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы
Задача 4
Производится облучение поверхности полубесконечного сильно поглощающего тела сканирующим сфокусированным пучком, движущимся прямолинейно с постоянной скоростью. Определить распределение температуры по линии сканирования в квазистационарном режиме.
Решение
Проанализируем условие задачи:
1) ;
2) источник продолжительного действия;
3) источник точечный;
4) ;
5) так как тело занимает полупространство, будем рассматривать задачу нагревания всего пространства источником мощностью . ( –мощность излучения, R – коэффициент отражения).
Итак, температура при действии точечного мгновенного единичного источника:
.
Размерность числителя: [Дж/м2]. Здесь .
При действии источника с энергией :
.
Интегрируя по t', определим :
.
Сделаем замену переменной: :
= ,
где – расстояние от точки, в которой определяется температура, до источника, , если точка находится перед источником, , если за ним.
Квазистационарный режим нагревания соответствует условию достаточно больших значений времени, поэтому решение задачи получим из выражения
.
Вычислим интеграл.
= =
= ,
где – теплопроводность.
Таким образом, распределение температуры по линии сканирования в квазистационарном режиме
Задачи для самостоятельного решения
Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры тонкой поглощающей пленки, нагреваемой лазерным излучением ( постоянна во времени и в пределах облученной области) (7.1-7.9).
7.1. В точке ( , ) – в центре облученной области, имеющей вид квадрата со стороной 2а ( , ).
7.2. В точке ( , ) – в середине стороны облученной области имеющей вид квадрата со стороной 2а ( , ).
7.3. В точке – в центре облученной области, имеющей вид круга радиуса (написать в полярной системе координат).
7.4. На линии – в середине облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.5. На линии – на границе облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.6. На линии – на границе облученной области, имеющей вид полуплоскости ( ).
7.7. На линии (а > 0), находящейся в облученной области, имеющей вид полуплоскости ( ).
7.8. В точке ( , ) – в углу облученной области, имеющей вид четверти плоскости ( , ).
7.9. В точке ( , ), (а > 0) – на границе облученной области, имеющей вид четверти плоскости ( , ).
7.10. Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры биоткани в зависимости от расстояния от точечного источника мощностью Р, расположенного внутри нее и излучающего равномерно во все стороны (глубина проникновения излучения ).
7.11. Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры полубесконечного слабо поглощающего (по закону Бугера) тела в зависимости от расстояния от поверхности, если плотность мощности падающего излучения равномерна по всей поверхности и постоянна во времени.
7.12. Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры полубесконечного сильно поглощающего тела, нагреваемого лазерным излучением ( постоянна в облученной области и не зависит от времени, если не задано иначе) (7.12 - 1.17).
7.13. В точке – в центре облученной области, если плотность мощности излучения изменяется на поверхности по закону ).
7.14. На линии – в середине облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.15. На линии – на границе облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.16. На линии – на границе облученной области, имеющей вид полуплоскости ( ).
7.17. На линии (а > 0), находящейся в облученной области имеющей вид полуплоскости ( ).
7.19. В точке ( , ) – в углу облученной области, имеющей вид четверти плоскости ( , ).