2. Длина теплопроводности
Запишем уравнение теплопроводности:
.
(5.3)
Представим
функцию Q
в виде
,
где
–
наибольшее значение функции
.
В
уравнении (5.3) перейдем к безразмерным
величинам:
,
,
где τ
–
длительность
действия источника. Подставив
эти значения в (5.3), получим:
.
Выберем безразмерные координаты таким образом, чтобы уравнение теплопроводности преобразовалось к виду:
.
(5.4)
Очевидно, что безразмерные координаты будут следующие:
,
,
.
Аналогично
могут быть приведены к безразмерному
виду в тех же
безразмерных переменных граничные и
начальные условия. Итак, мы получили
масштаб для переменных х,
у, z,
t,
Т,
в
котором для различных
веществ (с разными физическими
свойствами), для различных
значений мощности источника и длительности
его воздействия температурное
распределение будет одним и тем же и
будет зависеть лишь
от характера распределения источника
и граничных и начальных
условий. Отсюда следует следующий
важный вывод: характерный размер,
определяющий, на какое расстояние
распространяется тепло вследствие
теплопроводности, есть
.
Этот
характерный
размер называется длиной теплопроводности,
В реальных задачах она определяет
размер прогретой области, толщину
прогретого слоя и т.п.
Характерные
значения длины теплопроводности при
лазерном нагреве составляют от десятых
и сотых долей микрона при облучении
соответственно металлов (
)
и диэлектриков (
)
импульсами наносекундного диапазона
до миллиметров и сантиметров при
использовании непрерывного излучения
и временах экспозиции порядка секунд
и минут (что используется при обработке
стекла или при внутритканевых лазерных
хирургических операциях).
3. Частные случаи уравнения теплопроводности
В конкретных задачах уравнение теплопроводности может быть упрощено. Рассмотрим следующие примеры:
1)
.
Уравнение теплопроводности описывает
стационарный
температурный режим, при котором
распределение
температуры в области
Ω остается неизменным во времени. При
этом уравнение теплопроводности
принимает следующий вид:
.
(5.5)
В
реальных задачах такой режим наступает
спустя некоторое время от
начала воздействия
–
время установления стационарного
режима. Стационарный режим нагревания
имеет место в случаях, когда теплоотвод
из облученной области настолько велик,
что полностью компенсирует приток
энергии от лазерного излучения. В
частности, при облучении поверхности
сильно поглощающего (например
металлического) материала стационарный
режим нагревания реализуется когда
время с начала облучения
,
где
- радиус облученной области. Таким
образом, время установления стационарного
режима зависит от размера облученной
области: при
100
мкм
с,
при
1мкм
с.
2)
Тепловой поток в одном направлении
равен нулю, например,
.
Это означает, что тепло распространяется
в области Ω в плоскости
хоу
и параллельных ей плоскостях. Уравнение
теплопроводности
в этом случае принимает вид:
.
(5.6)
Примеры, когда осуществляется такой режим теплопроводности:
а) нагревание фольги в некоторой области. Температуру по толщине фольги можно считать одинаковой и тепло распространяется в плоскостях, параллельных поверхности фольги.
б) нагревание детали больших размеров с плоской поверхностью источником тепла в виде длинной полосы. Тепло распространяется вглубь детали и в направлении поперек полосы.
3) Тепловой поток идет только в одном направлении (например х), а в двух других (у и z) его составляющая равна нулю. Уравнение теплопроводности в этом случае имеет вид:
.
(5.7)
Примеры:
а) нагревание фольги источником в виде длинной полосы;
б) нагревание детали больших размеров по всей ее плоской поверхности (тепловой поток идет по нормали к поверхности). Такой режим теплопроводности реализуется также в области, находящейся вблизи центра облученной области и поверхности облучаемого тела, если размер облученной области . В центральной области тепловые потоки направлены от поверхности и задача теплопроводности может быть поставлена как плоская, в одномерном виде. Заметим, что радиус при этом велик лишь относительно – он составляет несколько микрометров или миллиметров, в зависимости от длительности воздействия.
4) Равномерное нагревание тела, тепловые потоки отсутствуют. Уравнение теплопроводности при этом переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение:
.
(5.8)
Пример – нагревание фольги по всей ее поверхности источником большого размера.