- •Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- •Математика как учебный предмет в школе.
- •Психолого-педагогические основы обучения математики.
- •Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- •Дополнительное образование по математике. Постоянные и непостоянные формы внеурочной работы.
- •Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- •Дидактические принципы обучения школьников математике.
- •Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- •Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- •Методы научного познания в обучении школьников математике.
- •Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- •Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- •1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- •Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- •Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- •Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- •Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- •Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- •Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- •1.22. Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- •1.23. Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- •1.24. Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- •1.25. История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой последовательности по правилам логического вывода.
Основным инструментом доказательства теорем являются умозаключения. Умозаключение — рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений выводится новое суждение (называемое заключением или следствием), логически вытекающее из посылок.
Формой дедуктивных умозаключений, используемых при доказательстве теоремы, является силлогизм. В силлогизме содержится три понятия, а состоит он из двух посылок и вывода. Его структуру можно представить в таком виде:
Все М есть Р — большая посылка (БП);
К есть М — меньшая посылка (МП);
К есть Р — вывод (В).
Приведем пример силлогизма: «Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р). Квадрат (К) есть ромб (М). Следовательно, квадрат (К) есть параллелограмм (Р)». Цепочка последовательно связанных силлогизмов, устанавливающая истинность теоремы, называется док-вом теоремы.
Проведение любого доказательства опирается на три блока знаний и умений: содержательный, структурный, логический. В содержательный блок входят элементы, связанные с ранее изученными математическими понятиями и фактами, которые использованы или в формулировке утверждения, или в качестве аргументов при проведении рассуждений. В структурный блок входят знания и умения, связанные со структурой утверждения и возможностями ее преобразования. В этот блок входят умения выделять условие и заключение теоремы, преобразовывать логическую форму теоремы с целью получения более простых под теорем и т. д. Логический блок содержит знания и умения, связанные с правилами логических рассуждений.
К частным методам док-ва относят метод геометрических преобразований, перемещение плоскости, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д.
Общими методами док-тва теорем в курсе математики средней школы являются:
синтетический(при синтетическом методе док-ва теоремы цепочка умозаключений строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению). К достоинствам синтетического метода следует отнести сжатость, краткость, исчерпывающую полноту. В методическом отношении синтетический метод имеет и свои недостатки: для учащихся остается неясным, как можно обнаружить такое док-во, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе)
аналитический метод(цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется
от заключения теоремы к ее условию)
док-во противоречием(от противного); док-во методом перебора; док-во методом исключения; метод бесконечных исключений(Математическое утверждение доказывается для конечного числа случаев, и делается вывод о невыполнимости этого утверждения для остальных случаев, которых бесконечное число.); метод полной индукции(перебираются все возможные случаи, к каждому из которых применяют либо синтетический метод, либо метод противоречия.); метод мат. индукции; метод конструирования.( путем геометрических построений, основанных на свойствах геометрических фигур, известных определениях и теоремах, строится объект, о котором идет речь в математическом утверждении. Этим методом в школьном курсе геометрии доказаны, например, теорема о существовании и единственности окружности, описанной около треугольника.