- •Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- •Математика как учебный предмет в школе.
- •Психолого-педагогические основы обучения математики.
- •Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- •Дополнительное образование по математике. Постоянные и непостоянные формы внеурочной работы.
- •Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- •Дидактические принципы обучения школьников математике.
- •Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- •Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- •Методы научного познания в обучении школьников математике.
- •Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- •Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- •1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- •Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- •Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- •Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- •Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- •Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- •Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- •1.22. Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- •1.23. Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- •1.24. Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- •1.25. История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).
Аксиома (греч. - авторитетное предложение “то, что приемлемо”) - предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.
К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются требования независимости, непротиворечивости, полноты.
Постулат (лат. - требование) - предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.
При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, то есть на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.
Существует два вида формулирования теоремы: условная, категорическая. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другому. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы)
Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что P истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно в целом.
Доказательство включает в себя три основных элемента: 1. Тезис (главная цель доказательства - установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса - суждение. 2. Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.
3. Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.
Известно, что имея некоторую (прямую) теорему ( P => G ), можно образовать новые теоремы, и не одну:
G => P - обратная;
Отр P => G - противоположная;
Отр G => P - контрапозитивная (обратная противоположной или противоположнообратная).
Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь:
_ _
а) (P =>G) и (G => P) - одновременно истинны или ложны;
_ _
б) (G =>P) и (P => G) - одновременно истинны или ложны.
Изучая какую-либо теорему школьного курса математики, учитель должен придерживаться следующей последовательности:
Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).
Обращение к опыту учащихся.
Высказывание предположения.
Поиск возможных путей решения.
Доказательство найденного факта.
Проведение доказательства в максимально простой форме.
Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.
Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теореме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.