14. 1)Линейные соотношения в линейных электрических цепях

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то два тока в любых двух ветвях (или напряжения на элементах этих ветвей) связаны друг с другом линейным соотношением:

Докажем это. Согласно принципу наложения можно записать

Пусть в схеме меняется только ЭДС Е_m. Тогда

Из второго уравнения

Полученное выражение подставим в первое уравнение

Откуда (1.24)

Коэффициенты а и b определяют экспериментально или расчетным путем по двум режимам.

2). Принцип наложения и метод наложения

Принцип наложения относится к линейным системам независимо от их физической природы и применительно к электрическим цепям формулируется следующим образом: «Ток в любой ветви электрической схемы равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником электрической энергии в отдельности».

Если в цепи действуют несколько источников ЭДС и источников тока, то математическая запись этого принципа относительно тока в k-й ветви такова

(1.22)

где - взаимная проводимость между k-й и n-й ветвями; - собственная входная проводимость k-й ветви; - коэффициент передачи по току между k-й и i-й ветвями. Выражение (1.22) легко получается из (1.19), если контурный ток одновременно является и током k-й ветви. Это всегда можно сделать, выбрав соответствующим образом k-й контур. Метод наложения заключается в том, что схема рассчитывается при действии каждого источника в отдельности. При этом остальные источники удаляются, однако их внутренние сопротивления сохраняются. Определенные таким образом частичные токи алгебраически суммируются, т. е. учитывается направление каждого из них относительно положительного направления тока в рассматриваемой ветви. Для определения взаимной проводимости, например, в выражении (1.22) следует величины всех источников положить равными нулю, кроме Е₁. В соответствии с этим выражение (1.22) запишем так откуда . Для определения в первую ветвь надо включить ЭДС Е₁, а в k-й ветви рассчитать (замерить) ток . Затем взять отношение к E₁:

Что касается собственных проводимостей ветвей, т. е. проводимостей с одинаковыми индексами, то они являются входными проводимостями относительно зажимов рассматриваемой ветви.

Используя выражение (1.22), следует записать для k-й ветви , откуда . И далее .

Входные проводимости имеют всегда положительный знак. Взаимные проводимости могут иметь как положительный, так и отрицательный знак в зависимости от знака частичного тока, полученного в результате расчета. Это поясняется ниже.

При расчете цепи от каждого источника отдельно получаются несложные схемы, определение токов в которых не вызывает затруднения.

Метод наложения широко применяется при вариациях величин ЭДС или токов источников тока.

15. Теорема о компенсации

Она формулируется так: «В электрической цепи любое сопротивление с током можно заменить ЭДС, равной падению напряжения на этом сопротивлении и направленной навстречу току в этом сопротивлении».

Для доказательства этого обратимся к рис. 1.31 а, б, в. Падение напряжения на сопротивлении R будет равно U = RI (pиc. 1.31 а). Включим последовательно с сопротивлением две ЭДС, каждая из которых равна по величине падению напряжения на сопротивлении R, т.е. RI. Причем эти ЭДС направлены навстречу друг другу. Очевидно, что в этом случае токораспределение в схеме не изменится.

Проследим изменение потенциала вдоль участка цепи от точки «а» до точки «d». Считаем потенциал точки а известным; тогда для потенциала точки d можно записать

Так как потенциалы точек d и а оказались одинаковы, то эти точки можно соединить проводом, т. е. закоротить. Схема рис. 1.31 б переходит в схему рис. 1.31 в, что и требовалось доказать.