51.Цепи несинусоидального токаОбщие и методические замечания

В настоящей главе рассматриваются цепи с периодическими токами и напряжениями, форма которых отличается от гармонической. Изучавшиеся до сих пор гармонические токи и напряжения являются лишь частным случаем более общих-несинусоидальных процессов в цепях.

Практически все генераторы переменного тока генери­руют не чисто гармонические колебания, а периодические несинусоидальные. Источниками несинусоидальности могут быть неоднородности магнитного поля в зазоре генератора электроэнергии, переключения b преобразователях перемен­ного тока, нелинейности в электронных генераторах.

Следует указать еще на один существенный источник ис­кажений формы кривой напряжения и тока - мощные нели­нейные и нестационарные нагрузки. В энергетике это, на­пример, дуговые сталеплавильные печи или мощные выпря­мительные установки.

В тех случаях, когда требуется мощный источник пере­менного тока для энергетических целей - форма кривой его напряжения или тока должна быть близка к синусои­дальной (требования к синусоидальности жестко регламентируются. Несинусондальность источника энергии играет отрицательную роль главным образом при питании электрических машин, поскольку приводит к снижению вращаю­щего момента, повышенному нагреву двигателей, генерато­ров и трансформаторов и вытекающему отсюда ускорению старения изоляции. Некоторые формы кривых периодическо­го несинусоидального напряжения показаны на рис. 11.1 а, б.

Во многих случаях несинусоидальность токов или напря­жений является полезным эффектом,

например, в схемах выпрямления кривая напряжения несинусоидальна (рис. l1.l в, г). В цепях

передачи и переработки информации напряжения и токи существенно несинусоидальны. Это

могут быть импульсные сигналы различной формы, например прямоугольные (рис. 11.1д, е) или

импульсы линейно изменяющегося напряжения (рис. 11.1 ж), применяемые, в частно­сти, в цепях

развертки телевизора.

Рис.11.1.(а)

Рис.11.1.(б)

Рис.11.1.(в)

Рис.11.1.(г)

Рис.11.1.(д)

Рис.11.1.(е)

Рис.11.1.(ж)

Рис. 11.1 а, б, в, г, д , е, ж

Цель настоящей главы — рассмотрение методов расчета и анализа линейных цепей, питаемых

источниками периоди­ческих несинусоидальных ЭДС и токов. Основной метод анализа -

- разложение несинусоидальных кривых ЭДС и тока в тригонометрический ряд Фурье и расчет цепи по принципу наложения, под действием источников каждой частоты в от­дельности.

При изучении материала этой главы следует вспомнить— в чем заключается принцип и метод наложения. Расчет ли­нейных цепей несинусоидального тока тесно связан с комп­лексным методом, поэтому нужно знать его основные поло­жения. Так как один из этапов расчета цепей несинусоидального тока связан с разложением периодической несину­соидальной функции в дискретный ряд Фурье, следует ос­вежить знания по теории рядов.

Разложение периодических несинусоидальных кривых напряжения и тока в тригонометрический ряд Рассматривается несинусоидальная перидическая функция с периодом , например, напряжение или ток Требуется разложить эту функцию в тригонометрический ряд

(ряд Фурье).

Ряд Фурье имеет вид

(11.1)

где Uo—постоянная составляющая напряжения; и амшлитуды косинусной и синусной составляющих R-й гармо­ники напряжения соответственно.

Эти величины вычисляются по известным формулам раз­ложения Фурье: (11.2)

Каждую гармоническую составляющую можно представить в полярной системе координат

(11.3)

где

или

Тогда ряд Фурье будет записываться следующим образом

(11.4)

Совокупность гармонических составляющих функции называется спектром. Спектр

представляет собой дис­кретный ряд гармоник с частотами , где = 0, 1, 2, ... с амплитудами

и фазами (постоянная составляющая Uo здесь представляет собой амплитуду

напряжения нуле­вой гармоники при ). Такой спектр называется дискрет­ным, или

линейчатым, и изображается графически в виде диаграмм, где по оси абсцисс откладываются

частоты гар­моник, а по оси ординат соответствующие амплитуды (амп­литудный спектр) или

фазы (фазовый спектр).

В случаях симметрии формы несинусоидальнои кривой (напряжения или тока) вид, разложения в ряд Фурье упро­щается, а именно:

1. Если функция нечетна, т. е. симметрична относительно начала координат (например, рис. 11.1 а,д ), то

и в разложении Фурье содержатся только синусные составляющие

(11.5)

2. Если функция четная, т. е. симметрична относительно оси ординат

(например, рис. 11.1 в), то

и в разложении Фурье содержатся только постоянная и косинусные составляющие

(11.6 )

3. Если функция симметрична относительно оси абсцисс (например, рис. 11.1 б), то

и в разложении Фурье содержатся только нечетные гармо­ники.

В ряде случаев необходимо разложить в ряд Фурье функ­цию, смещенную на некоторый угол а

относительно функ­ции, разложение которой известно. Пусть дано разложение Фурье

тогда разложение смещенной функции имеет вид

(11.7)

где значения определяются по формулам (11.2);

— угол смещения начала координат по оси .

54. Действующее и среднее значения несинусоидального напряжения или тока Действующее значение несинусоидальной периодической функции по определению есть

среднеквадратичное значение за период.

Рассмотрим несинусоидальное напряжение с пе­риодом 2 . Его действующее значение

(11.9)

Определим действующее значение несинусоидального напряжения или тока, если известно его

разложение в ряд Фурье (11.4). Пусть

Квадрат этого напряжения

Для того, чтобы проинтегрировать это выражение за период по формуле (11.9), целесообразно разложить его на гармонические составляющие. Сумма квадратов всех синусоид даст при разложении гармонику нулевой частоты и сумму гармоник двойных частот

Сумма произведений синусоидальных функции различных частот даст гармонические составляющие суммарных и разностных частот :

При интегрировании за период все периодические состав­ляющие разложения Фурье обратятся в нуль, поэтому

(11.10)

В последнем равенстве учтено соотношение между амп­литудным и действующим значениями

напряжения R-й гар­моники

Таким образом, деиствующее значение несинусоидального напряжения или тока равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений, напряжений (или токов) всех гармоник. Поясним сказанное на простейшем примере.