- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •2. Определение событий. Виды событий. Действия над событиями.
- •3. Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительн. Частоты.
- •5.Статистическая вероятность
- •6.Геометрическая вероятность
- •7.Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •11.Теорема сложения вероятностей для несовместноых и совместн. Событий
- •12.Теорема сложения вер. Для совместн. Событий
- •13.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независим. Событий.
- •15.Вероятность появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событ. В последовательности независим. Испытаний
- •21.Функция Лапласа. Интегральная функц. Лапласа. Их применение для решения задач в условиях повторения испытаний.
- •20.Формула Пуассона
- •22.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывн. Случайн. Величины.
- •23.Ряд распределения дискретн. Случ. Величины
- •24.Функция распредел. Св и ее св-ва
- •25. Плотность распределения вероятностей непрерывн. Св и ее св-ва.
- •29. Мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.
- •30.Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •32. Гипергеометрическое распределение.
- •33. Закон Пуассона
- •38. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.
- •39. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •40. Закон распределения функции двух св.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая функция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •50. Понятие оценки параметра. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
19.Наивероятнейшее число появления событ. В последовательности независим. Испытаний
Опред.: Наивероятнейш. числом наступления соб. А в n независим. испытаниях назыв. число, для кот. вероятн. превышает или по крайней мере не менее вер. каждого из остальных возможн. исходов испытаний. Пусть соб. А наступило раз в n испытаниях. Вер. появл. соб. А обозначим p; P(A)=p, а , тогда по формуле Бернули . По определению: -формула (1); -формула (2). Из нер-ва (1) получаем: ; ; ; . Т.к. , то . Из нер-ва (2) получаем: ; ; ; ; . Т,о. для нахождения наивероятнейш. числа мы получили нер-во: . Замечание 1: Длина интервала, определяемая последн. нер-вом равна 1; Замечание 2: Если границы интервала – дробные числа, то значение наивероятнейш. числа одно. Если границы – целые числа, то значений наивер. числа два.
21.Функция Лапласа. Интегральная функц. Лапласа. Их применение для решения задач в условиях повторения испытаний.
Использовать формулу Бернулли при достаточно большом кол-ве испытаний затруднительно. Поэтому, когда используют теорему Лапласа. Локальная теорема Лапласа: Если вер. появления соб. А в кажд. испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер. того, что соб. А появится в n испытаниях ровно m раз, приближен. равна(тем точнее, чем больше n) значению функции: , где , где . Имеются таблицы, в кот. помещены значения функц. , соответствующ. положит. значениям аргумента . Для отрицат. значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функц. четная, т.е. . Вер. того, что соб. А появится в n испытаниях ровно m раз , где . Предположим, что производится n испытаний, в кажд. из кот. вер. появл. соб. А постоянна и равна p, . Нужно найти вер того, что соб. А появится в n испытаниях не менее и не более раз, т.е. нужно найти . Теор.: Если вер. P наступления события в кажд. испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер. того, что в n испытаниях соб. А появится от до раз , где . При решении задач, требующ. применения интегральн. теоремы Лапласа, пользуются специальн. таблицами. В них даны значения функции для положит. значений аргумента . Для <0 функц. нечетн., т.е. . В табл. приведены значения для . При >5 значение функц. считается постоян. и равно 0,5. Для того, чтобы можно было использовать табл. функций Лапл. преобразуем последнюю формулу: ; , где . Вер. того, что соб. А появится в n независим. испытаниях от до раз равна .
????Вер. отклонения относит. частоты от постоян. вер. в независим. испытаниях. Будем считать, что производится n независ. испытаний, в кажд. из кот. вер. появл. соб. А постоянна и равна p. Найдем вер. того, что отклонение относит. частоты от постоян вер. p по абсолютн. величине не превышает задан. числа , т.е. найдем вер. осуществления нер-ва: . Заменим дан. нер-во на равносильн. ему нер-во ; . Умножим последн. нер-во на , получим . Воспользуемся интегральн. теоремой Лапл. Положим ,а , тогда имеем вер. того, что P( ) . Окончательно получаем .