- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •2. Определение событий. Виды событий. Действия над событиями.
- •3. Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительн. Частоты.
- •5.Статистическая вероятность
- •6.Геометрическая вероятность
- •7.Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •11.Теорема сложения вероятностей для несовместноых и совместн. Событий
- •12.Теорема сложения вер. Для совместн. Событий
- •13.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независим. Событий.
- •15.Вероятность появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событ. В последовательности независим. Испытаний
- •21.Функция Лапласа. Интегральная функц. Лапласа. Их применение для решения задач в условиях повторения испытаний.
- •20.Формула Пуассона
- •22.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывн. Случайн. Величины.
- •23.Ряд распределения дискретн. Случ. Величины
- •24.Функция распредел. Св и ее св-ва
- •25. Плотность распределения вероятностей непрерывн. Св и ее св-ва.
- •29. Мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.
- •30.Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •32. Гипергеометрическое распределение.
- •33. Закон Пуассона
- •38. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.
- •39. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •40. Закон распределения функции двух св.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая функция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •50. Понятие оценки параметра. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
32. Гипергеометрическое распределение.
ДСВ Х = m имеет геометрическое распределение с параметром p, если она принимает значения 1, 2, …, m, …(бесконечное, но счетное мн-во значений) с вероятностями P(X=m) = pqm-1, где 0<p<1, а q = 1 – p. Ряд геометрич. распределения имеет вид:
X |
1 |
2 |
3 |
… |
m |
… |
p |
p |
pq |
pq2 |
… |
pqm-1 |
… |
Определение геометрич. распределения корректно, т.к. = p + pq + pq2 + …+ pqm-1 = p(1+ q + q2 +…+ qm-1 +…) = p = p/p = 1. СВ Х равная m, имеющая геометрич. распредел., представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли с вероятностью p наступления события в кажд. испытании до первого положительного исхода. Мат. ожидание СВ Х, имеющей геометрич. распределение с параметром p равно 1/p, а дисперсия равна q/p2.
ДСВ имеет гипергеометрич. распределение с параметрами n, M, N, если она принимает значения 0, 1, 2, …, min(n, M) с вероятностями P(X= m) = , где ; n, N, M — натуральные числа. Гипергеометрич. распредел. имеет случ. величина Х = m, число объектов обладающих заданным св-вом среди n объектов, случайно извлеченных без возврата из совокупности N объектов, M из кот. обладают этим св-вом. Мат. ожидание СВ, имеющей гипергеометрич. распредел. с параметрами n, N, M, вычисляется по формуле M(X) = ; D(X) = .
33. Закон Пуассона
ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотрицат. значения с вероятностями Pm = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с параметром распределения λ, где λ=np. В отличие от биномиальн. распределения здесь СВ может принимать бесконечное мн-во значений, представляющ. собой бесконечн. последовательность целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящ. за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, кот. характеризуется параметром λ=np. Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
X |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
p |
e—λ |
λ e—λ |
(λ2 e—λ)/2! |
… |
(λm e—λ)/m! |
… |
Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию ex можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому eλ = = 1+ λ + λ2/2! + …+ λm/m! +… Тогда = e—λ = e—λ eλ =1. Найдем мат. ожидание и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = = λ e—λ = λe—λ eλ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X2) – (M(X))2. M(X2) = = e—λ = e—λ = λ2 e—λ + λ e—λ = λ2 e—λ eλ + λ e—λ eλ = λ2 +λ. Тогда D(X) = λ2 +λ — λ2 = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распределения λ.
37. Показательное распределение.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной СВ Х, которое описывается функцией плотности вероятности , где λ>0 постоянна и называется параметром показательного распределения. Примером непрерывн. СВ, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока, где λ – интенсивность потока. Найдем функцию распределения F(x) СВ, распределенной по показательному закону: F(x) = = . Итак,
Определим числовые хар-ки СВ, распределенной по показательному закону. Матем. ожидание: M(X) = = = . Дисперсия: D(X) = = = 2/λ2 – 1/λ2 = 1/λ2. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 1/λ и, следовательно, совпадает с мат. ожиданием.