9.Аксиомы Колмогорова

Числовая функция Р, определенная на классе событий F называется вероятностью, если выполняются следующ. условия: Аксиома 1. F является алгеброй событий; Аксиома 2. Р(А)0 для любого АF; Аксиома 3. Р()=1; Аксиома 4. Если А,В – несовместные события, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Для решения задач, связанных с бесконечн. последовательностями событий, требуется дополнить приведен. аксиомы следующ. аксиомой непрерывности: Аксиома 5. Для любой убывающей последоват-и событий из F такой, что произведение этих событий есть невозможн. событие, справедливо равенство: lim(при x→∞) P(A_n)=0, т.е. А₁ А₂ … А_n …A_i F, ;

Эти аксиомы называются аксиомами Колмогорова.

10.Понятие вероятностного пространства

Тройку( , F, P), в кот. Р удовлетворяет аксиомам Холмогорова 2-5, а F является σ-алгебр. событий, называют вероятностным простр-вом. Из определения вероятности вытекают след. св-ва вероятности на этом простр-ве: 1) P( )=0, вероятность невозможного события; 2) P(Ā)=1-P(A); 3) Если A B, то P(A) P(B); 4) 0 P(A) 1; 5) P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB); 6) P(A+B) P(A)+P(B).

11.Теорема сложения вероятностей для несовместноых и совместн. Событий

Пусть события А и В несовместны, причем вероятности этих событий известны. Теорема: Вероятн. появления одного из 2-ух несовместн. событий(безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B). Доказ-во: Пусть n – возможн. элементарн. исходов испытания. m₁ – число исходов благоприятствующ. событию А; m₂ – число исходов благоприятств. событию В. Тогда P(A)=m₁/n; P(B)=m₂/n. Т.к события А и В несовместны, то нет таких исходов, кот. благоприятствовали бы одновремен. и событию А, и соб. В. Поэтому событию А+В благоприятствует m₁+m₂ элементарн. исходов испытания. Тогда P(A+B)=(m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n=P(A)+P(B). Следствие: Вероятн. появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n) или P( _i)=

Теорема: Сумма вероятностей событий А₁, А₂…А_n, образующих полную группу равна 1, т.е. P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1. Доказат-во: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятн. достоверн. события равна 1, то P(A₁+A₂+…+A_n)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A₁+A₂+…+A_n)= P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

Теорема:Сумма вероятн. противоположн. событий равна 1, т.е. P(A)+P(Ā)=1. Доказат-во: Противоположн. события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. Замечание: Если вероятн. одного из противоположн. событий обозначить за p, а вероятн. другого через q, то предыдущ. формулу можно записать в виде: p+q=1.

12.Теорема сложения вер. Для совместн. Событий

Определ.: События А и В назыв. совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании, т.е. есть элементарн. события, входящие и в событие А, и в соб. В. Теорема: Вероятн. появления хотя бы 1 из 2-ух совместн. событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Доказ-во: Пусть в рез-те опыта возможны N равновозможн. исходов. Пусть далее событию А благоприятствует М исходов, а событию В благопр. К исходов. События А и В совместны, поэтому часть указан. исходов благоприятст. и событию А, и соб. В. Предположим, что таких исходов L, тогда P(A)=M/N, P(B)=K/N, P(AB)=L/N. Событие А+В заключается либо в наступлении события А, либо соб. В, либо соб. АВ, поэтому ему будет благоприятствовать M+K-L исходов. Тогда P(A+B)=(M+K-L)/N=M/N+K/N-L/N. Вероятн. суммы 3-ех совместн. событий вычисляются по формуле: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)