29. Мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.

Модой(M_o(X)) CB X называется ее наиболее вероятное значение, т.е. значение, для кот. вер. p_i или плотность вероятности f(x) достигает максимума. Если вер. или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в несколбких точках, то распредел. называется полимодальным.

Медианой (M_e(X)) НСВ Х называется такое ее значение, для кот. вер. того, что X< M_e(X) равна вер. того, что X> M_e(X) и равна ½, т.е. вер. того, что СВ Х примет значение меньше M_e или больше ее одна и таже и равна ½. Геометрически медиана – это вертикальн. прямая x= M_e(X), проходящая через точку M_e(X), кот. делит площадь фигуры кривой распределения на 2 равные части.

Коэффициент ассиметрии(А). A= , где - среднеквадратич. отклонение, - центральный момент 3-ей степени. Если распределение симметрично относительно мат. ожидания, то А=0.

Эксцессом или коэффициентом эксцесса называют число E= -3. Число 3 вычитается из соотношения , т.к. для наиболее часто встречающегося нормальн. распределения величина =3. Кривые более островершинные, чем нормальные обладают положительн. эксцессом, а более плосковершинные – отрицат. эксцессом.

30.Начальные и центральные моменты случайных величин.

Начальным моментом к-того порядка СВ Х называется мат. ожидание к-той степени этой величины. Начальн. момент обозначается = M(X)^k. Центральным моментом к-того порядка СВ Х назыв. мат. ожидание к-той степени отклонения СВ Х от ее мат. ожидания, т.е. = (X – M(X))^k. Для дискретн. СВ и непрерывн. СВ формулы для вычисления моментов приведены в таблице:

Моменты	ДСВ	НСВ
Начальный		, где f(x) – функция плотности распределения
Центральный

При к=1 ; при к=2 . Центральн. моменты могут быть выражены через начальн. моменты по формулам: ; ; . Мат. ожидание или начальн. момент 1-го порядка характеризует средн. значение СВ. или дисперсия характеризует степень рассеивания распределения СВ Х относит-но мат. ожидания M(X). служит для хар-ки ассиметрии или скошенности распределения. Он имеет размерность куба СВ. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где - среднеквадратич. отклонение. служит для хар-ки крутости, т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти св-ва описываются с помощью эксцесса.

31. Биномиальный закон распределения.

Пусть проводится n независим. испытаний, в кажд. из которых событие А может появиться, либо не появиться. Вероятность появл. соб. А в единичном испытании постоянна и не меняется от испытания к испытанию. Рассмотрим в кач-ве ДСВ Х число появлений соб. А в этих испытаниях. Формула, позволяющ. найти вер. появления m раз события А в n испытаниях – это форм. Бернулли. Опред.: ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. значения с вероятн. P_n(m)=P(X=m)= p^mq^n-m, где p+q=1, p>0, q>0, m= называется распределенной по биномиальному закону, а p – параметром биномиальн. распределения. Ряд распредел. ДСВ Х распределенной по биномиальн. закону можно представить в виде:

X	0	1	2	…	k	n
p				…

Функция распредел. в этом случае определяется формулой F(x)= . Найдем числовые хар-ки этого распределения. M(X) = (рав-во 1) . Запишем рав-во, являющееся биномом Ньютона: (p+q)ⁿ= . Продифференцируем последнее рав-во по p: n(p+q)^n-1= . Умножим последнее рав-во на p: np(p+q)^n-1 = . Сравнивая получен. рав-во с рав-вом (1), получаем, что np(p+q)^n-1 = M(X). Т.к. p+q=1, то M(X)= np. Для вычисления дисперсии ДСВ распределенной по биномиальн. закону воспользуемся формулой D(X)= M(X²) – (M(X))². Для СВ распределенной по биномиальн. закону: M(X²) = . Продифференцируем рав-во (p+q)ⁿ = дважды по p. Получим n(n – 1)(p+q)^{n —2}= . Умножим последнее рав-во на p² и преобразуем правую часть рав-ва: n(n – 1)(p+q)^{n —2} p² = — ; n²p² – np² = M(X²) — ; n²p² – np² = M(X²) – M(X). Для ДСВ распределенной по биномиальн. закону M(X)= np, т.е. n²p² – np² = M(X²) – np; M(X²)= n²p² – np² + np; D(X)= n²p² – np² + np — n²p² = np(1 – p) = npq. Значит дисперсия ДСВ распределенной по биномиальн. закону вычисляется по формуле: D(X) = npq. .