50. Понятие оценки параметра. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.

Пусть требуется подобрать распределения для исследуемой СВ Х по выборке x₁, x₂, …, x_n , извлеченной из генеральной совокупности Ω_x с неизвестной функцией распределения F(x). Выбрав распределение, исходя из анализа выборки, мы по данным выборки должны оценить параметры соответствующего распределения. Например, для нормального распределения можно определить параметры m и σ; для распределения Пуассона — параметр λ и т.д. Решение вопросов о «наилучшей» оценке неизвестного параметра и составляет теорию статистического оценивания. Выборочная числовая хар-ка, применяемая для получения оценки неизвестного параметра генеральной совокупности, называется оценкой параметра. Например, Х – среднее арифметическое может служить оценкой математического ожидания M(X) генеральной совокупности Ω_x. В принципе для неизвестного параметра a может существовать много числовых характеристик выборки, которые вполне подходящи для того, чтобы служить оценками. Например, среднее арифметическое, медиана, мода могут показаться вполне приемлемыми для оценивания мат. ожидания M(X) совокупности. Чтобы решить, какя из статистик в данном мн-ве наилучшая, необходимо определить некоторые желаемые св-ва таких оценок, т.е. указать условия, которым должны удовлетворять оценки. Опред.: Если M( ) =a, то называется несмещенной оценкой а. В других случаях говорят, что оценка смещена. Если существует больше одной несмещенной оценки, то выбирают более эффективную оценку, т.е. ту, для которой величина второго момента M( - а)² меньше. Опред.: Оценка ₁ называется более эффективной, чем оценка ₂, если M( ₁ - а)² <M( ₂ - а)² . При использовании той или иной оценки желательно, чтобы точность оценивания увеличилась с возрастанием объема производимой выборки. Предельная точность будет достигнута в том случае, когда численное значение оценки совпадает со значением параметрапри неограниченном увеличении объема выборки. Такие оценки будем называть состоятельными. Опред.: Оценка называется состоятельной оценкой а, если при n→∞ она сходится по вероятности к а.

51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки для параметра а, в математической статистике рассматривают вероятность нер-ва | -a| <δ: P (| -a| <δ) = P(-δ< -a<δ)= P( - δ<a< +δ) – формула (1). И если вероятность близка к единице, т.е. если P( - δ<a< +δ) = 1 – ε, то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на , равен ±δ. Чем меньше для ε>0 будет δ>0, тем точнее оценка . Из формулы (1) видно, что вероятность того, что интервал ] -δ; +δ[ со случайными концами накроет неизвестный параметр, равна 1 – ε. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. Опред.: Случайный интервал, определяемый рез-тами наблюдений, который с заданной вероятностью α = 1 – ε накрывает неизвестный параметр а, называется доверительным интервалом для параметра а, соответствующим доверительной вероятности α = 1 – ε. Граничные точки доверительного интервала называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Заданному α = 1 – ε соответствует не единственный доверительный интервал. Доверительн. интервалы могут изменяться от выборки к выборке. Более того, для данной выборки различные методы построения доверительных интервалов могут привести к различным интервалам. Поэтому выработаны определенные правила. Используя их и эффективные оценки неизвестных параметров, получают кратчайшие интервалы для заданной доверительной вероятности α = 1 – ε.