42. Неравенство Чебышева.

Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».

Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием m_x и D_x. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше чем на α, ограничена сверху величиной D_x/ α²: P(|X - m_x |≥α)≤ D_x/ α². Доказ-во: Пусть величина Х прерывная, с рядом распределения:

Х	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Изобразим возможные значения величины Х и ее мат. ожидание m_x в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше, чем на α: P(|X - m_x |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки m_x вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вероятность (1) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - m_x |≥α) = P(X AB). Для того, чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений Х, которые лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - m_x |≥α) = - формула (2), где запись |X - m_x |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те значения, для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии величины Х: D(X) = M[(X - m_x)²] = - формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения Х, а только на некоторые, в частности на те, котрые лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ . Заменим под знаком суммы выражение |X - m_x | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - m_x |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшится; значит, D(X) ≥ . Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α²P(|X - m_x |≥α), откуда непостредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда величина Х непрерывна, доказ-во проводится аналогичным образом с заменой вероятностей p элементом вероятности, а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - m_x |>α) = , где f(x) – плотность распределения величины Х. Далее, имеем: D(X) = ≥ , где знак |X - m_x |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - m_x | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥ α² = α²P(|X - m_x |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.

44. Понятие центральной предельной теоремы.

При суммировании достаточно большого числа СВ закон распределении суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении некоторых условий. Эти условия, которые математически можно сформулировать различным образом – в более или менее общем виде, - по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных слагаемых было равномерно малым, т.е. чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для кот. устанавливается это предельное св-во суммы СВ. В центральной предельной теореме рассматриваются законы распределения случайных величин. Согласно центральной предельной теореме, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, сколь угодно близко к нормальному. В практических задачах центральную предельную теорему часто используют для вычисления вероятности того, что сумма нескольких СВ окажется в заданных пределах. Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые СВ с математическими ожиданиями m₁, m₂, …,m_n и дисперсиями D₁, D₂, …, D_n. Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены (величины Х₁, Х₂, …, Х_n сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых n достаточно для того, чтобы закон распределения величины можно было считать приближенно нормальным. Тогда вероятность того, что СВ Y попадает в пределы участка (α, β), выражается формулой P(α <Y<β)= - формула (1), где m_y, σ_y – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины Y, Φ^* – нормальная функция распределения.

Заметим, что центральная предельная теорема может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным СВ при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения. Действительно, если величины Х₁, Х₂, …, Х_n дискретны, то их сумма Х – также дискретная СВ и поэтому, строго говоря не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы типа формулы (1) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а функции распределения Частным случаем центральной предельной теоремы для ДСВ является теорема Лапласа.

45. Понятие о теореме Ляпунова.

Если Х1, Х2, …, Хn,… - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с мат. ожиданием m и дисперсией σ 2, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному. Доказ-во: Приведем доказ-во для случая непрерывных СВ Х1, Х2, …, Хn, кот. имеют один и тот же закон распределения с плотностью f(x) и, следовательно, одну и ту же характеристическую функцию - формула (1). (Характеристической функц. СВ Х называется функц. g(t)=M[eitx], где i – мнимая единица). Исследуем более подробно функцию gx(t). gx(t) = gx(0) + g'x(0)t + [g''x(0)/2+α(t)]t2, где α(t)→0 при t→0 – формула (2). Найдем величины gx(0), g'x(0), g''x(0). Полагая в формуле (1) t=0, имеем: gx(0) = . Продифференцируем формулу (1) по t: g'x(0) = - формула (3). Полагая, что в формуле (3) t=0, имеем: g'x(0) = i = iM[X] = im. Продифференцируем формулу (3): g''x(t) = , отсюда g''x(0) = - формула (4). При m=0 интеграл в выражении (4) есть не что иное, как дисперсия величины Х с плотностью f(x), следоват-но: g''x(0) = — σ 2. Подставляя в формулу (2) gx(0) = 1, g'x(0) = 0, g''x(0) = — σ 2, получим: gx(t) = 1 – [σ 2/2 - α(t)]t2 – формула (5). Обратимся к СВ Yn. Мы хотим доказать, что ее закон распределения при увеличении n приближается к нормальному. Для этого перейдем от величины Yn к другой СВ: - формула (6). Эта величина удобна тем, что ее дисперсия не зависит от n и равна 1 при любом n. Если мы докажем, что закон распределения величины Zn приближается к нормальному, то, очевидно, это будет справедливо и для величины Yn, связанной с Zn линейной зависимостью. Из формулы (6): gzn(t)=gyn(t/σ ), где gyn(t) – характеристическая функция СВ Yn. Из формулы (5): gzn(t) = {1- [σ 2/2 – α(t/σ )] (t2 /n σ 2)}n. Прологарифмируем это выражение: ln gzn(t) =n ln {1- [σ 2/2 – α(t/σ )] (t2 /n σ 2)}. Введем обозначение [σ 2/2 – α(t/σ )] (t2 /n σ 2) = χ. Тогда ln gzn(t) =n ln{1- χ}. Будем неограниченно увеличивать n. При этом величина χ стремится к 0. Разложим ln{1- χ} в ряд и ограничимся одним членом разложения: ln{1- χ} = — χ. Тогда получим ln gzn(t) = n(— χ) = { - t 2/2 + α(t/σ )] (t2 / σ 2)} = - t 2/2 + (t2 / σ 2) α(t/σ ). Функция α(t) стремится к 0 при t→0; значит α(t/σ ) = 0 и ln gzn(t) = (- t 2/2), откуда gzn(t) = . Это есть не что иное, как характеристическая функция нормального закона с параметрами m=0, σ =1. Т.о. доказано, что при увеличении n характирестич. функция СВ Zn неограниченно приближается к характирестич. функции нормального закона; отсюда – закон распредел. величины Zn, а значит и величины Yn, неограниченно приближается к нормальн. закону. Теорема доказана.