48. Эмпирическая функция распределения и ее св-ва.
Опред.: эмпирической функцией
распределения называется относительная
частота события {X<x} в данной выборке
значений СВ Х, т.е.
(x)
= P(X<x) = mx/n, где mx – число
xi, меньших х; n – объем выборки.
Величина n
(x)
равна числу элементов выборки, которые
меньше х. Из теоремы Бернулли следует,
что эмпирическая функция
(x)
при увеличении n (n→∞) сходится по
вероятности к подлинной функции
распределения F(x). Поэтому
(x)
используется для оценки функции
распределения F(x). Св-ва эмпирической
функции распределения: 1) Значения
эмпирич. функции распред. принадлежат
отрезку [0;1]; 2) Эмпирич. функция распред.
(x)
– неубывающая функция; 3) Если x< x1,
где x1 – наименьшее наблюденное
значение, то
(x)
= 0; при x> xn, где xn – наибольшее
наблюденное значение,
(x)
= 1. Эти св-ва следуют из определения
эмпирической функции распределения.
49. Числовые хар-ки выборочного распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
Пусть случайный эксперимент описывается
СВ Х. Повторяя случ. эксперимент n раз,
получим последовательность наблюденных
значений x1, x2, …, xn СВ Х, называемых
выборкой из генеральной совокупности
Ωx, описываемой функцией распределения
F(x). Опред.: Выборочным средним наблюденных
значений выборки назыв. величина,
определяемая по формуле
,
где xi – наблюденное значение с частотой
mi, n – число наблюдений,
.
Частоты mi могут быть равны 1, i =
,
тогда k=n. Опред.: Статистической
дисперсией
выборочного распределения назыв. среднее
арифметическое квадратов отклонений
значений наблюдений от средней
арифметической
,
т.е.
,
где xi – наблюденное значение с частотой
mi',
,
n – число наблюдений. В кач-ве числовой
хар-ки выборки так же применяется
медиана. Чтобы вычислить ее все наблюдения
располагают в порядке возрастания или
убывания. При этом, если число вариант
нечетно, т.е. 2m+1, то медианой является
m+1 варианта (
);
если же число вариант четное, то медиана
равна среднему арифметическому двух
средних значений:
=
(xm+xm+1)/2. Хар-ка ассиметрии выборочного
распределения вычисляется по формуле
,
а эксцесс выборочного распределения
определяется характеристикой
.
Обобщающими хар-ками выборочных
распределений являются статистич.
моменты распределения. Начальные
статистич. моменты k-того порядка:
.
Тогда: при k =0 M0 =
(mi/n)
= 1; при k =1 M1 =
(
mi/n) =
;
при k =2 M2 =
(
mi/n) =
2;
при k =3 M3 =
(
mi/n) =
3;
при k =4 M4 =
(
mi/n) =
4
и т.д. Практически используются моменты
первых четырех порядков. Центральные
статистич. моменты k-того порядка:
.
Тогда: при k =0
=1;
при k =1
=0; при k =2
- статистич. дисперсия; при k =3
;
при k =4
и т.д. Отметим, что центральный статистич.
момент 3-его порядка служит мерой
ассиметрии распределения выборки. Если
распределение симметрично, то
.
На практике моменты порядка выше
четвертого почти не применяются, т.к.
обладают очень высокой дисперсией и их
сколько-нибудь надежное определение
потребовало бы выборок большого объема.