Приклад розв’язання задачі 7

Вихідні дані:

β = 0,5, F = 3 кН, q = 0,8 кН/м, l = 3 м.

Схема показана на рис. 21.

Розв’язання

1. Представлена на рис.21 балка один раз статично невизначена, невідомих реакцій - чотири: три реакції в защемленні й одна - у шарнірно-нерухомій опорі. Рівнянь статики для заданої системи - можливо записати тільки три:

ΣY=0, ΣX=0, ΣM_B=0.

Отже, потрібно скласти одне додаткове рівняння - рівняння переміщень, яке виражає ту думку, що прогин балки на правій опорі дорівнює нулю: Y_В = 0.

Т.я. за умовою задачі потрібно спочатку визначити момент у защемленні, запишемо рівняння статики, що виключає вплив реакції R_в правої опори.

, , RA·3 - 3·1,5 – MA+ 0,8·1,5·0,75=0, RA·3 – MA – 3,6=0, MA=3RA – 3,6.

(1)

Рівняння прогину балки на правій опорі запишемо за допомогою методу початкових параметрів:

,

де y₀ = 0, θ₀ = 0 – прогин і кут повороту в затисненні.

Тоді, для заданої схеми одержимо:

, , - 4,5MA+4,5RA - 1,6875=0, -MA+RA – 0,375=0

(2)

Підставимо (1) в (2), одержимо:

, звідки R_A=1,6125 кН,

кНм

Тому що момент М_А вийшов зі знаком (+), отже, його напрям на рис.21 зазначено вірно. У протилежному випадку потрібно поміняти напрям моменту М_А на протилежний.

Визначимо реакцію в опорі В.

ΣМ_А=0,

,

1,2375 - 3·1,5 – 0,8·1,5·3,75+ 3·R_B=0, звідки: R_B=2,5875 кН.

2. Будуємо епюри Q, M по характерних точках.

Побудова епюри поперечних сил Q

Ділянка DВ.

Q_D=0,

Q_B=q·BD=0,8·1,5=1,2 кН.

Ділянка ВС.

Q_B=1,2 – R_B=1,2 – 2,5875= - 1,3875 кН,

Q_C= - 1,3875 кН.

Ділянка АС.

Q_A=R_A=1,6125 кН,

Q_С =1,6125 кН.

"Стрибок" у точці С вийшов на величину F = 3кН,

F=Q_{C AC} + Q_{C BC} =1,6125+1,3875=3 кН.

Будуємо епюру Q.

Побудова епюри згинального моменту М_зг

Ділянка ВD.

M_D=0,

кН·м.

Ділянка АС.

M_задел =М_А = - 1,2375 кН·м,

М_С = - М_А + R_A·AC = - 1,2375 + 1,6125·1,5=1,18125 кН·м.

Будуємо епюру M_зг.

3. Будуємо епюру прогинів, використовуючи рівняння початкових параметрів.

a) z₁=0,25l=0,75 м ,

,

.

б) z₂=0,5l=1,5 м ,

,

.

в) z₃=0,75l=2,25 м ,

,

.

г) z₄=l=3 м, прогин в у_В=0.

,

у₄ = у_В =0 (перевірка).

д) z₅=1,25l=3,75 м ,

.

е) z₆=1,5l=4,5 м ,

.

Знак (-) означає прогин донизу, (+) - нагору.

Будуємо епюру прогинів у частках .

Рисунок 21.

Приклад розв’язання задачі 8

Вихідні дані:

F = 1 кН, l = 1,8 м, h/b = 1,6.

Розрахункова схема - на рис. 22.

Розв’язання

1. Для побудови епюр М_верт і М_гор. розглянемо вигин балки окремо в горизонтальній і вертикальній площинах:

а) Горизонтальна площина

Опорні реакції: ΣM_D=0, ΣМ_С=0.

R_C ·CD - F·BD = 0, ,

R_D·CD - F·CB = 0, .

Тоді .

Будуємо епюру М_гор .

б) Вертикальна площина

Опорні реакції можна визначити, виходячи із симетричності розрахункової схеми у цій площині:

, .

Будуємо епюру М_верт .

2. Визначимо небезпечний переріз.

Небезпечним є переріз балки у точці А, тому що в цій точці

, ,

(порівнюючи точку D, маємо , .)

Примітка: Можливі випадки, коли на балці може виникнути два і більше небезпечних перерізів. Потрібно піддати перевірці всі такі точки й вибрати з них найнебезпечнішу.

Рисунок 22.

Підберемо розміри перерізу h і b, користуючись умовою міцності при косому вигині:

, де , ,

W_y, W_z - моменти опору прямокутного перерізу, тому що , то h=1,6 b. Тоді: , .

Підставимо ці значення в умову міцності: .

Звідси .

кН·м, кН·м.

м,

h=1,6·b=1,6·0,062=0,0992 м.

Таким чином, округлюючи, можна прийняти: b=6,2 см, h=10 см.

3. Кут нахилу нейтральної лінії щодо горизонтальної осі перерізу визначимо за формулою:

,

де .

см⁴, см⁴,

, звідси φ=arctg 1,3=52º.

Для визначення положення нейтральної лінії робимо наступне. Накреслемо перетин у масштабі 1:2 і покажемо осі yz (рис.23).

Відповідно до напрямку осей y і z на рис. 22, визначимо вид деформації волокон балки під дією сил F.

Так, на горизонтальній площині, волокна, що лежать знизу (тобто з боку, протилежної напрямку осі z) - стислі, а волокна, що лежать зверху - розтягнуті. Покажемо це на перетині (рис.23) знаками (+) і (-). Аналогічно визначаємо, що у вертикальній площині верхні волокна - стислі, а нижні - розтягнуті. Вид деформації волокон легко визначити, якщо врахувати, що епюри згинальних моментів будуються з боку стислих волокон.

Після того, як на перерізі чітко визначені області стиску й розтягання, не складає труднощів побудувати нейтральну лінію, що проходить через центр ваги перерізу й ділить його на дві області - стислу й розтягнуту. У нашому випадку вісь z потрібно повернути на кут φ =52º проти ходу годинникової стрілки (рис.23).

Для побудови епюри нормальних напружень у небезпечному перерізі визначаємо напруження на контурі перерізу в кутових точках. Точки 2 і 4 найбільш віддалені від нейтральної лінії, отже, у них виникають найбільші напруження:

, , де

см³ = 64·10 ^-6 м³,

см³ = 103·10 ^-6 м³,

Н/м = 3,5МПа,

Н/м = 4,4МПа.

Тоді σ₄=3,5+4,4=7,9МПа, σ₂=-3,5 – 4,4 = -7,9 МПа.

Напруження в точках 1 і 3: σ₁ < 0, σ₃ < 0.

σ₁= - σ_z + σ_y = - 4,4 + 3,5= - 0,9 МПа, σ₃=σ_z - σ_y =4,4- 3,5=0,9МПа.

Будуємо епюру нормальних напружень в аксонометрії (рис.23).

Рисунок 23.