Приклад розв’язання задачі 1

Вихідні дані:

F = 1,5 кН, А = 1,5·10-3 м2, а = 2,5 м, b = 2,0 м, с = 1,5 м.

Розрахункова схема показана на рис. 15.

Розв’язання

Переміщення перетину I-I дорівнює подовженню частини стрижня, що лежить вище перетину I-I:

.

Подовження Δl_а. походить від дії сили F і відповідної ваги частин стрижня:

Використовуючи формулу:

знаходимо

.

Подовження від відповідної ваги:

,

, де G_a=γa·2A,

, де G_b=γb·2A,

, де G_c=γc·A.

Таким чином, переміщення перетину I-I дорівнює:

, або

.

G_a=78·10³·2, 5·3·10 ^-3=585Н,

G_b=78·10³·2·3·10 ^-3=468Н,

G_c=78·10³·1, 5·1, 5·10 ^-3=175,5Н.

м.

Відповідь:

Рисунок 15.

Приклад розв’язання задачі 2

Вихідні дані:

a = 2,2 м, b = 2,8 м, с = 1,6 м, А = 1,6·10-3 м 2 .

Розрахункова схема показана на рис. 16.

Розв’язання

1. Розглядаємо абсолютно жорсткий брус (рис. 16а) без урахування його товщини. Вибираємо напрям осей х и у, початок координат сполучаємо із точкою В. Відкидаємо в'язі й заміняємо їх відповідними реакціями. Реакції N₁ і N₂ стрижнів ЕЕ₁ і СС_1, шарнірно закріплених по кінцях, спрямовані уздовж осі цих стрижнів. Реакція опори В має горизонтальну Х_В і вертикальну Y_В складові. Для такої системи сил можна скласти три рівняння рівноваги, а невідомих реакцій - 4, тобто система один раз статично невизначена.

За умовою задачі немає необхідності визначати реакції в шарнірі В, тому із трьох рівнянь статичної рівноваги для плоскої системи в цьому випадку використовуємо тільки одне, що виключає вплив реакцій Х_В і Y_В .

Таким є рівняння моментів всіх сил щодо опори В:

. (1)

Для складання додаткового рівняння розглянемо деформацію стрижнів при повороті бруса щодо опори В під дією сили Q. На рис. 16б штриховою лінією показано вісь бруса після деформації системи. Ця вісь залишається прямолінійною, тому що брус, за умовою задачі, є абсолютно жорстким і, отже, не деформується, а може тільки повернутися навколо осі В. Так як кут повороту системи дуже малий, то можна вважати, що шарніри Е и С займають положення Е' і С', переміщаючись вертикально. Позначимо δ₁ – переміщення шарніра Е, δ₂ – переміщення шарніра С. Стрижні ЕЕ₁ і СС₁ отримують абсолютні подовження: Δl₁ Δl ₂ .

При цьому, тому що стрижень СС'  ЕD, то Δl ₂ = δ_2.

Трикутники ЕЕ'В і ВСС'- подібні, тому: , (2)

Рисунок 16.

Виразимо Δl₁ через δ_1. Для цього спроектуємо δ₁ на напрямок ЕЕ₁

тоді: ЕЕ"=Δl₁=δ₁cosα₁ , ,

або з огляду на вираз (2), маємо:

(3)

Із ΔЕЕ₁К знаходимо α₁ = 45º, довжини стрижнів:

l₁=b=1,41b, l₂=a, cosα₁=cos45˚=0,707.

Використовуючи закон Гука, знаходимо:

Підставляючи Δl₁ і Δl_{2 .} в (3), одержимо:

Підставляємо N₁ у рівняння (1):

Знаходимо напруження в стрижнях

2. Прирівняємо найбільше з напружень допустимому напруженню: : σ₂ > σ₁,

σ₂= [σ] = 160 MПа.

Тоді для найбільш навантаженого стрижня СС₁ знаходимо Q_доп.:

160·10⁶ = 453,1 Q_доп ,

3. Знаходимо граничну вантажопідйомність системи, при цьому міркуємо так: при збільшенні навантаження Q понад Q_доп., напруження в обох стрижнях спочатку збільшується прямо пропорційно навантаженню. Тобто, тому що в нас σ₂ > σ₁ і Q_доп. знайдено з умови σ₂=[σ], тоді при збільшенні навантаження до деякої величини Q > Q_доп., напруження в другому стрижні досягають границі плинності σ_т=240MПа, при цьому напруження в першому стрижні σ₁ залишаються менше σ_т. При подальшому зростанні навантаження Q напруження в другому стрижні залишаються сталими, дорівнюють σ_т, а в першому стрижні зростають, поки не стануть дорівнювати σ_т.

Цей стан називається граничним і відповідає стану, коли вичерпується вантажопідйомність системи. Подальше збільшення навантаження називається граничним навантаженням Q_т^к. Для визначення значення Q_т^к складемо рівняння у вигляді суми моментів (щодо шарніра В) всіх сил, що діють на жорсткий брус у граничному стані, коли Q=Q_т^к і N₁=σ_т A₁, і N₂ =σ_т A₂.

звідки

Розділивши Q_т^к на нормативний коефіцієнт запасу міцності k=1,5, одержимо величину гранично-допустимого навантаження:

4. Порівнюємо величину Q, отриману при розрахунку за допустимим напруженням і допустимим навантаженням:

5. Висновок: Метод розрахунку за допустимим навантаженням, дозволяє спроектувати статично невизначену систему з матеріалу, що має поличку плинності, більш економічну, ніж при розрахунку за допустимим напруженням.