[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

§ 11. Методы понижения порядка дифференциального уравнения 73

Используя граничные условия получаем систему для определения C1, C2:

Окончательно имеем

y(x) = y0 + (y1 − y0)Φ 2xa .

Глава III

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В данной главе широко используются определения, факты и методы линейной алгебры. Имеется много хороших учебников по этой дисциплине (см., например, [9]), и ее следует широко использовать при изучении математического анализа, ДУ и других дисциплин. Полезно материал главы просматривать на частном случае системы двух ДУ тем более, что большая´ часть приводимых нами приложений относится к этому случаю. При небольшом количестве учебных часов придется этим случаем и ограничиться.

§ 1. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений

Здесь t — независимая вещественная переменная, xk = xk(t), k = 1, 2, . . .

. . . , n — неизвестные функции, точка означает дифференцирование

по t, функции fk(t, x1, x2, . . . , xn) определены в области G n+1 со значениями в .

Такую систему принято называть нормальной системой ДУ. Коротко в векторной форме ее можно записать так

где x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T — столбец неизвестных функций, x˙ — столбец их производных, а f(t, x) — столбец правых частей.

Столбцовая вектор-функция x = x(t) называется решением системы ДУ (1) на интервале (α, β), если на этом интервале:

1)каждая координатная функция xk(t) непрерывно дифференцируема,

2)(t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) G,

3)подстановка x1(t), x2(t), . . . , xn(t) в систему (1) обращает ее

втождество.

Под задачей Коши для нормальной системы ДУ (1) принято понимать задачу нахождения ее решения, удовлетворяющего начальным условиям

где x0 = (x10, x20, . . . , xn0)T.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши — наиболее общий вариант приводившихся ранее аналогичных теорем.

Теорема 1. Пусть функции fk(t, x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n, непрерывны в области G n+1 вместе со всеми их частными про-

изводными первого порядка по переменным x1, x2, . . . , xn. Тогда для любой начальной точки (t0, x10, . . . , xn0) G найдется (конечный или бесконечный) интервал (a, b), содержащий точку t0, на котором существует единственное pешение задачи Коши (1), (2).

Теорема дает достаточные условия существования и единственности локального решения задачи Коши. Это pешение можно распространить на максимальный интервал его существования и получить непродолжимое pешение, график которого подходит сколь угодно близко к границе области G или стремится к бесконечности при стремлении t к одному или к обоим концам указанного максимального интервала. Разумеется, стремление решения к бесконечности при стремлении к концу максимального интервала возможно лишь, когда область G неограничена хотя бы по одной из переменных xk.

График каждого решения системы ДУ в области G изображается лежащей в ней кривой, называемой интегральной кривой. График решения задачи Коши — это интегральная кривая, проходящая через заданную начальную точку.

Рассмотрим теперь частный случай системы ДУ (1) — линейную неоднородную систему ДУ, когда

fk(t, x1, x2, . . . , xn) = ak1(t)x1 + ak2(t)x2 + . . . + akn(t)xk + hk(t), k = 1, 2, . . . , n.

Пусть коэффициенты ДУ системы akl(t) C(a, b), k, l = 1, 2, . . . , n, и правые части hk(t) C(a, b), k = 1, 2, . . . , n, т. е. непрерывны на за-

данном конечном или бесконечном (a, b).

В векторно-матричном виде эта линейная неоднородная система ДУ (1) записывается следующим образом:

Здесь A(t) — матрица порядка n × n с элементами akl(t), а h(t) — столбцовая вектор-функция с координатами hk(t). Ищется неизвестная

столбцовая вектор-функция x(t). В частном случае, когда столбец пра-

76 Гл. III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

вых частей h(t) pавен нулю, такая система ДУ называется линейной однородной системой ДУ.

Теорема 2. Пусть задана система ДУ (3), где A(t) — матрица порядка n × n с непрерывными на (a, b) элементами, а h(t) — непрерывная на этом интервале вектор-функция столбец.

Тогда для любой начальной точки (t0, x0), где t0 (a, b), а x0 n, на всем интервале (a, b) существует единственное pешение задачи (3), (2).

В чем же различие линейного и нелинейного случаев? Пусть D — область в n и по аналогии с линейным вариантом область

G= {(t, x): t (a, b), x D}.

Влинейном случае существование решения гарантировано на всем (a, b). В нелинейном случае непродолжимое pешение гарантировано лишь на некотором интервале, не совпадающим, возможно, с (a, b).

Доказательства теорем 1, 2 и усиление их, связанное с непродолжимыми решениями, pассматриваются в гл. VI.

Системы ДУ являются более общими объектами по сравнению с ДУ высших порядков. Полагая в ДУ (1) из гл. II

§ 2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений 77

Из второго ДУ с учетом граничного условия находим x2 = exp(t−1). Перейдя к x1, получаем задачу Коши для ДУ со специальной правой

§ 2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений

где z, z˙ — столбцовые вектор-функции высоты n, а A(t) — квадратная матрица порядка n с элементами непрерывными на (a, b).

Теорема. Множество N всех решений системы ДУ (4) является линейным n-мерным пространством.

Доказательство. Линейность N следует из линейности системы ДУ (проверьте!). Покажем, что N n-мерно. Пусть e1, e2, . . . , en — стандартный базис в n (напомним, что у вектора ek его k-я координата равна 1, а остальные координаты pавны 0). Зафиксируем t0 (a, b). Пусть ϕk(t) — pешение задачи Коши для системы (4) с начальным

условием zk(t0) = ek, k = 1, 2, . . . , n.

Докажем, что так выбранная система столбцовых вектор-функций

{ϕk(t)}k=1, 2, ..., n образует базис в N. Ее линейная независимость на (a, b)

n

k=1

нейной независимости системы векторов стандартного базиса имеем C1 = C2 = . . . = Cn = 0. Итак, линейная независимость системы доказана.

Для того, чтобы эта система была базисом, надо еще показать, что любое pешение z˜(t) N является линейной комбинацией векторов этой

системы.

n

Пусть z˜(t0) = z˜kek. Рассмотрим вектор-функцию

k=1

n

θ(t) = z˜kϕk(t) N.

k=1

Так как z˜(t0) = θ(t0) (проверьте!), то по теореме 2 из §1 z˜(t) = θ(t)

n

на (a, b). Значит, z˜(t) = z˜kϕk(t) N, т. е. всякое z˜ N представимо

k=1

линейной комбинацией решений системы вектор-функций {ϕk(t)}nk=1, так что она образует базис в N, а само N n-мерно. Теорема доказана.

78 Гл. III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Определенная в ходе доказательства теоремы система вектор-функ- ций {ϕk(t)}nk=1 называется нормальной фундаментальной системой решений системы ДУ (4), или, короче, ее нормальной ФСР.

Определение. Произвольный набор из n линейно независимых решений системы ДУ (4) (т. е. любой базис в N) будем называть фундаментальной системой решений (кратко ФСР) системы ДУ (4).

Из теоремы, в соответствии с определением базиса, вытекает следующее важное утверждение.

Следствие. Пусть {zk(t)}nk=1 — ФСР системы ДУ (4). Тогда

n

формула z = Ckzk(t), где C1, C2, . . . , Cn — произвольные постоян-

k=1

ные, является формулой общего решения этой системы ДУ.

Для пояснения отметим, что, как всегда, под общим решением системы ДУ (4) понимается совокупность всех ее решений.

Упражнение. Покажите, что для системы ДУ

ФСР на (−1, 1) есть набор столбцовых вектор-функций (1, t)T, (t, 1)T. Выпишите общее pешение.

§3. Системы дифференциальных уравнений с постоянной диагонализуемой матрицей

Перейдем к рассмотрению линейных однородных систем ДУ с по-

Для таких систем ДУ имеются эффективные методы нахождения ФСР.

Решения системы (5) — вещественные или комплексные — попробуем найти в виде z(t) = eλtw, w = 0.

В комплексном случае экспонента eλt была определена в гл. II, §4. При этом w — постоянный комплексный вектор. Поскольку dtd eλt = λeλt, то для любых t справедливо равенство

z˙ (t) − Az(t) = (λw − Aw)eλt.

Но экспонента eλt = 0 на . Значит справедлив следующий вывод: вектор-функция z(t) = eλtw является решением системы ДУ (5) в том и только в том случае, когда вектор w и число λ связаны соотношением

Из равенства (6) нужно найти возможные показатели λ и возможные ненулевые векторы w.

Напомним известное из линейной алгебры определение. Число λ называется собственным значением матрицы A, если существует вектор w = 0, такой, что Aw = λw. При этом w называется собственным вектором, отвечающим (соответствующим) собственному значению λ. Линейное подпространство, образованное всевозможными линейными комбинациями собственных векторов, отвечающих этому собственному значению, называется собственным подпространством матрицы A, соответствующим λ.

Итак, при отыскании решений вида z(t) = eλtw, w = 0, у нас возникла задача на собственные значения и собственные векторы матрицы A. Напомним известный из линейной алгебры ход ее pешения.

Формулу (6) запишем в виде равенства (A − λE)w = 0, где E — единичная матрица. В стандартном базисе оно представляет собою однородную алгебраическую систему n линейных уравнений с n неизвестными и с параметром λ. Такая система имеет нетривиальное pешение тогда и только тогда, когда ее определитель

Это равенство представляет собою алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим уравнением. Многочлен det(A−λE) называется характеристическим многочленом.

Заметим, что в научно-учебной литературе используется и другая терминология. Характеристическое уравнение называется иногда вековым уравнением, а собственные значения — характеристическими числами. Множество всех собственных значений матрицы иногда называют ее спектром.

Поскольку характеристическое уравнение — это уравнение степени n (почему?), то по основной теореме высшей алгебры оно имеет в поле комплексных чисел pовно n корней с учетом их кратности.

Пусть λ0 — один из корней характеристического уравнения (вещественный или комплексный). Как всякий корень характеристического уравнения, он является собственным значением матрицы A. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными

(A − λ0E)w = 0.

Ее определитель pавен нулю, и потому она имеет нетривиальные решения. Совокупность всех решений системы образует ненулевое собственное подпространство Nλ0 , отвечающее собственному значению λ0. Найдем базис этого подпространства.

Итак, если λ0 — собственное значение матрицы A, то система ДУ имеет решения вида z0(t) = eλ0tw0, где w0 — любой вектор из Nλ0 .

При этом если λ0 вещественно, то и подпространство Nλ0 вещественно.

(Продумайте правильность данного утверждения.)

Выделим теперь более простой, но часто встречающийся случай, когда удается довольно легко построить ФСР.

80Гл. III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Оп р е д е л е н и е. Будем называть матрицу A диагонализуемой, если из ее собственных векторов можно составить базис в n.

Поясним это определение. Оно означает, что матрица A имеет pовно n линейно независимых вещественных собственных векторов

w1, w2, . . . , wn, соответствующих каждый своему собственному значению: Awk = λkwk, k = 1, 2, . . . , n. При этом все собственные значения, очевидно, вещественны, однако не предполагается, что они различны.

Частным случаем диагонализуемой матрицы является матрица, имеющая n различных вещественных собственных значений. У такой мат-

рицы собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы и, значит, образуют базис в n. Вспомните этот известный из линейной алгебры факт и продумайте его.

В курсе линейной алгебры доказывается еще и такой факт: если

матрица симметрическая, то из ее собственных векторов можно составить базис n. Отметим, однако, что системы ДУ с симметрической матрицей встречаются в приложениях не так уж часто.

Еще один класс диагонализуемых матриц образуют так называемые нормальные матрицы. Матрица A по определению нормальна, если она

перестановочна (коммутирует) с транспонированной к ней матрицей:

AAT = ATA.

Важность определения диагонализуемой матрицы проявляется в следующем утверждении.

Теорема. Пусть матрица A диагонализуема, w1, w2, . . . , wn — ее линейно независимые собственные векторы, отвечающие соответственно собственным значениям λ1, λ2, . . . , λn.

Тогда ФСР системы ДУ имеет вид

Доказательство. Нужно лишь проверить, что указанная в теореме система функций линейно независима. Пусть

C1w1eλ1t + C2w2eλ2t + . . . + Cnwneλnt = 0.

При t = 0 имеем C1w1 + C2w2 + . . . + Cnwn = 0. Но векторы w1, w2, . . . , wn линейно независимы. Значит, все Ck = 0, и теорема доказана.

В заключение поясним введенный нами термин «диагонализуемая матри-