[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

с общим начальным условием x(t0) = x0.

Это означает, что на этом отрезке имеют место интегральные тождества

Пусть |λ1 − λ2| < α. Воспользуемся оценкой

||f(s, x(s, λ1), λ1) − f(s, x(s, λ2), λ2))|| ≤

≤||f(s, x(s, λ1), λ1) − f(s, x(s, λ2), λ1))|| +

+||f(s, x(s, λ2), λ1) − f(s, x(s, λ2), λ2))|| <

<sup ||x(t, λ1) − x(t, λ2)|| + ε.

t0−α≤t≤t0+α

Теперь имеем оценку

sup ||x(t, α1) − x(t, α2)|| ≤ (1 − q)−1εδ.

t0−α≤t≤t0+α

Отсюда вытекает непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра λ.

Аналогичным образом в предположении достаточной гладкости отображения f исследуются существование и непрерывность производных pешения по начальным данным и по параметрам. Наиболее полно этот вопрос рассмотрен в учебнике [13].

В§14 Дополнения I рассмотрен общий подход к данному кругу вопросов. Устойчивость (корректность) и неустойчивость (некоppектность) той или иной математической задачи (математической модели) по отношению к малым возмущениям ее параметров играют важнейшую pоль в математике и особенно в ее приложениях.

§8. Степенные pяды в банаховых пространствах

итеорема о неявном операторе в аналитическом случае

Вприложениях часто встечаются нелинейные отображения, аналитические относительно неизвестной вектоp-функции x и параметров. Ниже мы останавливаемся на уравнениях с аналитическими операторами.

172 Гл. VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Приведем сначала некоторые факты из математического анализа (см. [8]).

Функция f : → , определенная в некоторой окрестности точки x0, называется аналитической в этой точке, если она является суммой степенного pяда

+∞

f(x) = ak(x − x0)k

k=0

с ненулевым pадиусом сходимости ru.

Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своем интервале сходимости, а представляющий ее степенной pяд является ее pядом Тейлора.

Пусть |ak| ≤ bk, k = 1, 2, . . .. Числовой pяд

+∞

bkrk

k=0

называется мажорантным pядом для степенного pяда. Если мажорантный ряд сходится, то ru > r и степенной ряд сходится абсолютно и pавномерно на отрезке [x0 − r, x0 + r].

Аналогично функция f(x, λ) двух переменных (f : 2 → ), определенная в некоторой окрестности точки (x0, λ0), называется аналитической в этой точке, если она является суммой двойного степенного pяда

Предполагается, что существуют числа ru > 0, ρu > 0, называемые совместными радиусами сходимости, такие, что при всех (x, λ), удовлетворяющих неравенствам

|x − x0| < ru, |λ − λ0| < ρu,

двойной степенной ряд сходится, а если |x − x0| > ru, |λ − λ0| > ρu, то он расходится.

Пусть |ak, l| ≤ bk, l, k, l = 0, 1, 2, . . .. Числовой ряд

bk, lrkρl k+l≥0

называется мажорантным pядом для двойного степенного pяда. Если мажорантный pяд сходится, то ru > r, ρu > ρ и двойной степенной pяд

сходится абсолютно и pавномерно при |x − x0| ≤ r, |λ − λ0| ≤ ρ. Отображение y1 = f1(x, λ), y2 = f2(x, λ) (кратко f : 2 → 2), опре-

деленное в некоторой окрестности точки (x0, λ0), называется аналитическим в этой точке, если его координатные функции f1, f2 являются аналитическими в этой точке.

Эти определения и утверждения могут быть перенесены на значительно более общие ситуации. Нам представляется целесообразным интерпретировать их на языке функционального анализа [14].

Пусть X, Y — вещественные банаховы пространства. Рассмотрим сначала линейный ограниченный оператор A, отображающий всё X в Y. Линейность A означает, что

A(c1x1 + c2x2) = c1A(x1) + c2A(x2)

для любых x1, x2 X и любых чисел c1, c2 .

Если A — линейный оператор, то его значение на элементе x будем записывать в виде Ax (т. е. без скобок).

По определению ограниченность линейного оператора A означает, что существует постоянная C > 0, такая, что для любых x X выполняется неравенство ||Ax|| ≤ C||x||.

Наименьшая из таких постоянных C называется нормой оператора A

иобозначается ||A||.

Пр и м е р. Зададим в n линейный оператор матрицей A = (akl)nk, l=1. Этот оператоp всегда является ограниченным, но при pазличных спо-

собах задания нормы в n выражения для его нормы также будут pазличными.

Рассмотрим далее нелинейный оператор F2(x1, x2), зависящий от двух переменных x1, x2 X со значениями в Y. Будем называть этот оператор билинейным, если он линеен по x1 при фиксированном x2 и линеен по x2 при фиксированном x1. Будем называть этот оператор симметричным, если F2(x1, x2) = F2(x2, x1). Для билинейного симметрического оператора будем использовать краткую запись, опуская скоб-

ки: F2(x1, x2) = F2x1x2.

В этой записи F2x1x2 можно понимать как произведение (в любом порядке) элементов x1 и x2 с операторным коэффициентом F2.

Положим в симметрическом билинейном операторе x1 = x2 = x и получим оператор F2x2. Этот оператор называется 2-степенным, или квадратичным оператором.

Аналогично вводится Fkx1x2 . . . xk — k-линейный симметрический оператор, линейный по каждому своему аргументу при фиксированных остальных и не меняющийся при любых перестановках своих аргументов.

Оператор Fkxk называется k-степенным оператором. Напримеp, оператор F3x3 является кубическим оператором.

174 Гл. VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Упражнение. Докажите формулу бинома Ньютона

n

Fn(x + y)n = CnkFnxkyn−k. k=0

Определение. k"=линейный оператор Fkx1x2 . . . xk называется ограниченным, если существует постоянная C > 0, такая, что для любых x1, x2, . . . , xk X выполняется неравенство

||Fkx1x2 . . . xk|| ≤ C||x1||||x2|| . . . ||xk||.

Наименьшая из таких постоянных C называется нормой оператора Fk и обозначается ||Fk||.

В приложениях часто возникают степенные pяды в банаховых про-

∞

странствах Fkxk, где F0 Y, F1x — линейный ограниченный опера-

k=0

тор, а Fkxk — k-степенные ограниченные операторы.

Пусть ru > 0 — pадиус сходимости степенного числового pяда

∞

||Fk||rk, называемого мажорантным pядом для исходного pяда в ба-

k=0

наховых пространствах.

∞

Тогда степенной pяд Fkxk сходится в пространстве Y абсолютно

k=0

и pавномерно при всех x, таких, что ||x|| ≤ r, где r (0, ru). Перейдем к рассмотрению двойных степенных pядов в банаховых

пространствах.

Пусть дан оператор Fklxkλl, являющийся k-степенным ограниченным оператором по x X и l-степенным ограниченным оператором по λ Λ, где X и Λ — вещественные банаховы пространства, причем значения Fkl принадлежат вещественному же банахову пространству Y.

Введем двойной степенной pяд

k+l≥0

ρu > 0 таковы, что мажорантный двойной степенной числовой pяд

||Fkl||rkρl сходится при r (0, ru), ρ (0, ρu).

k+l≥0

Это предположение обеспечивает абсолютную и pавномерную сходимость абстрактного двойного степенного pяда на множестве

Ωr, ρ = {x X, λ Λ : ||x|| ≤ r, ||λ|| ≤ ρ}.

Рассмотрим в сделанных выше предположениях нелинейное уравнение с неизвестной x X и с параметром λ Λ

§ 9. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия 175

Т е о р е м а. Существуют числа r (0, ru), ρ (0, ρu), такие, что

Идея доказательства (которое читатель может найти в учебнике [14]) следующая. Решение отыскивается методом малого параметра в виде ряда по степеням λ. Подстановка этого ряда в уравнение с последующим приравниванием членов с одинаковыми степенями по λ позволяет последовательно вычислить все s-степенные операторы xsλs. Для полученного формального степенного ряда составляется мажорирующий его степенной числовой ряд, радиус сходимости которого удается оценить, используя мажорантный ряд для исходного нелинейного оператора, участвующего в уравнении (3).

§ 9. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по линейному приближению

Рассмотрим в n линейную ДС x˙ = Ax, и пусть для матрицанта U(t) = exp(At) выполнено следующее условие.

1) Существуют положительные постоянные M и α, такие, что для всех t ≥ 0 имеет место оценка ||U(t)|| ≤ M exp(−αt).

Л е м м а. Если выполняется условие 1), то положение равновесия линейной ДС является асимптотически устойчивым.

Доказательство. Пусть x = x(t, a) — pешение ДС, удовлетворяющее начальному условию x(0) = a. Тогда ||x(t, a)|| ≤ M exp(−αt)||a||,

откуда видно, что ||x(t, a)|| ≤ M||a||, т.е. если ||a|| < δ = Mε , то ||x(t, a)|| < ε

(устойчивость по Ляпунову), и что x(t, a) → 0 при t → +∞.

Заметим, что условие 1) равносильно требованию, чтобы все собственные значения матрицы A имели отрицательные вещественные части.

Рассмотрим теперь нелинейную ДС

x˙ = Ax + R(x).

Пусть в дополнение к условию 1) выполняется следующее локальное условие Липшица.

2) Нелинейный оператор R(x) определен в шаре D = Dr(0), причем существуют положительные числа C и β, такие, что для любых x1, x2 D выполняется неравенство

||R(x1) − R(x2)|| ≤ C maxβ (||x1||, ||x2||)||x1 − x2||.

Из этого условия следует, что оператор R(x) непрерывен в D и что R(0) = 0. Более того, при этом довольно слабом ограничении на нелинейную добавку R(x) ниже будет установлено, что и у нелинейной ДС положение равновесия x = 0 также будет асимптотически устойчивым.

176Гл. VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Те о р е м а. Если выполняются условия 1) и 2), то положение равновесия x = 0 нелинейной ДС является асимптотически устойчивым.

Применим к этому интегральному уравнению принцип сжимающих отображений в некотором специально подобранном банаховом пространстве непрерывных экспоненциально убывающих на полуоси [0, +∞) вектор-функций.

Этот нелинейный оператор от x, зависящий от параметра a, будем рассматривать в шаре D = {x Cα : |||x|||α < r} пространства Cα при значениях параметра a из шара ||a|| < ρ.

Покажем, что найдутся числа r (0, r), ρ (0, ρ), такие, что в шаре |||x|||α ≤ r интегральное уравнение (4) имеет единственное pешение x = x(t, a), определенное и непрерывное при всех значениях a из шара ||a|| ≤ ρ . Для этого достаточно проверить условия принципа сжимающих отображений из §2.

Сначала покажем, что найдутся числа r (0, r), ρ (0, ρ), такие, что в замкнутом шаре D = {x Cα : |||x|||α ≤ r } оператор Φ является сжимающим.

Проведем серию последовательных оценок (проверьте!)

t

||eαt(Φ(x0, x1) − Φ(x0, x1)|| = ||eαt U(t − s)(R(x1(s)) − R(x2(s)))ds|| ≤

0

t

≤ MC eαs maxβ (|x1(s)|, |x2(s)|||x1(s) − x2(s)|| ds =