[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Решая эту рекуррентную систему уравнений, последовательно находим

y1, y2, y3, . . . .

Замечание 1. Иногда удается найти радиус сходимости R > 0 степенного ряда, представляющего решение y(x). Полезно вспомнить, что при дифференцировании радиус сходимости не меняется (см. [8]).

и давать достаточно хорошее приближение к решению лишь вблизи начальной точки.

Замечание 3. Рассмотренный прием нахождения приближенного решения ДУ пригоден и в том случае, когда правая часть ДУ не является аналитической, но достаточно гладка по своим переменным в окрестности точки x0, y0. Тогда удается вычислить несколько членов разложения решения по степеням x.

Влитературе рассмотренный метод часто называют методом неопределенных коэффициентов.

Вгл. I, §4 мы уже встречались с видоизменением этого метода. Упражнение 1. Пусть k = 0, а Pn(x) — многочлен степени n.

+ky = Pn(x) имеет частное решение в виде мно-

=Qn(x).

=x + y2, x(0) = 1.Упражнение 2. Рассмотрим задачу Коши y

Найдите решение этой задачи в виде y = 1 + y1x + y2x2 + y3x3 + o(x3), x → 0.

Заметим, что ряд (4) является рядом Тейлора решения y(x). По-

этому его коэффициенты равны yk = y(k)(0) , k = 1, 2, . . . , и их можно k!

вычислить, находя эти производные непосредственно из ДУ. Положим в ДУ (1) x = 0 и найдем y (0) = f(0, y0). Продифференци-

руем ДУ и получим

откуда при x = 0 имеем

Продолжая эти действия, найдем сколь угодно много значений производных y(k)(0), а значит, и коэффициентов yk. Этот подход является лишь другой формой метода неопределенных коэффициентов.

Проиллюстрируем сказанное на примере задачи Коши из упражнения 2.

Из ДУ при x = 0 имеем y (0) = y2(0) = 1. Дифференцируя ДУ дважды, получим:

y (x) = 1 + 2y(x)y (x), y (x) = 2(y )2(x) + 2y(x)y (x).

142 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Отсюда при x = 0 находим

y (0) = 1 + 2y(0)y (0) = 3, y (0) = 2(y )2(0) + 2y(0)y (0) = 8.

Итак, y(x) = 1 + x + 32 x2 + 43 x3 + o(x3), x → 0.

З а м е ча ние 4. Иногда с помощью метода математической индукции удается получить явные выражения для коэффициентов или даже выразить pешение через элементарные функции.

Упражнение 3. Покажите с помощью метода неопределенных коэффициентов, что pешение задачи Коши y = 1 + y2, y(0) = 0 дается формулой y = sh(x).

Подчеркнем еще раз, что степенной ряд представляет собой pешение ДУ только на интервале сходимости этого ряда. Следовательно, данный метод (как и метод последовательных приближений) пригоден, вообще говоря, только для отыскания локального решения.

Перейдем к отысканию решений ДУ второго порядка в виде степенных рядов.

Упражнение 4. Для ДУ y + y = 0 найдите в виде pядов по степеням x решения, удовлетворяющие начальным условиям: 1) y(0) = 0, y (0) = 1; 2) y (0) = 1, y(0) = 0.

В качестве более содержательного примера найдем ФСР ДУ Эйри y − xy = 0.

Это ДУ находит различные применения в физике, напримеp, в оптике, в механике и в квантовой механике, а также в асимптотическом анализе.

ФСР этого ДУ найдем в виде ряда

∞

y = ykxk.

k=0

Дважды дифференцируя этот ряд, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и получим: 2y2 = 0, 3 · 2y3 − y0 = 0, k(k − 1)yk − yk−3 = 0, k = 4, 5, . . . .

Для нахождения ФСР зададим два типа начальных условий. Сначала найдем pешение ДУ Эйри, удовлетворяющее начальным

Для нахождения второго из решений ФСР возьмем начальные условия

y(0) = 0, y (0) = 1.

Предоставляем читателю проверить, что pешение ДУ Эйри с этими начальными условиями дается формулой

Упражнение 5. Убедитесь, что Y1, Y2 линейно независимы. Покажите, что ряды, представляющие их, сходятся на всей числовой оси и что Y1, Y2 бесконечно дифференцируемы на .

Данный примеp довольно типичен. Важные в приложениях решения ДУ обычно называются специальными функциями. Свойства таких функций детально изучаются, для них составляются таблицы их значений, а иногда и компьютерные программы (см. Дополнение III).

Офункциях Эйри см. также [13].

§4. Метод малого параметра

Вприложениях часто встречаются ДУ с малым параметром. Рассмотрим следующую задачу Коши, в которой правая часть ДУ и начальное значение зависят от малого параметра ε:

144 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Пусть y0(x) — ее pешение. Положим y = y0(x) + z(x). Для нахождения z имеем следующую задачу Коши:

z = F(z, ε), z(0) = g(ε) − g(0),

где F(z, ε) = f(x, y0(x) + z, ε) − f(x, y0(x), 0).

Как и в §3, ограничимся случаем, когда правая часть F(z, ε) этого ДУ является аналитической функцией переменных z, ε в точке (0, 0), а начальное значение g(ε) является аналитической функцией от ε

вточке 0.

Вэтих предположениях для вычисления решения z(x, ε) можно применить метод неопределенных коэффициентов, разыскивая это pешение

ввиде степенного ряда, но на этот раз по степеням ε. При этом на каждом шагу решается линейная задача.

Для определения y2 имеем задачу Коши для ДУ со специальной правой частью y2 + y2 = xe−2x, y(2) = 0. Вычислите y2. На этом пути можно найти сколько угодно членов разложения решения по степеням ε.

§5. Метод малого параметра

взадаче с сингулярным возмущением

Более сложной является задача с малым параметром при производ-

В отличие от задачи типа (5), называемой задачей с регулярным возмущением, задачи этого типа называются задачами с сингулярным возмущением. В задаче (5) pешение предельной задачи дает хорошее приближение к ее pешению, если ε достаточно мало. С задачей (7) дело обстоит значительно сложнее.

Оно является суммой pешения вырожденного уравнения −y + 1 = 0,

получающегося из ДУ при ε = 0, и pешения соответствующего однородного ДУ с начальным условием y(0) = y0 − 1.

Пусть y0 = 1. В выражении pешения первое слагаемое 1 удовлетворяет ДУ, но не удовлетворяет начальному условию, если g(ε) = 1.

Второе слагаемое — функция v(x, ε) = (y − 1)e−x/ε, которая сосредо-

0 √

точена вблизи точки x = 0. Действительно, при x ≥ ε (вне погра-

146 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Для устранения этой невязки в выполнении начального условия осуществляется так называемый второй итерационный процесс. Будет построен еще один ряд по степеням ε, являющийся погранслойной поправкой.

Перейдем в (8) к новым переменным, полагая z = y − u(x, ε), ξ = xε . Для вычисления функции z получаем pегулярную задачу Коши

dzdξ + k(εξ)z = 0, z(0) = g(ε) − u(0, ε).

Коэффициент k и начальное значение разложим в ряды Тейлора. Решение ищем в виде

+∞

z = zr(ξ)εr.

r=0

Для вычисления коэффициентов этого pяда имеем pекуppентную последовательность задач Коши:

Из первой задачи z0(ξ) = (g0 − u(0, 0))e−k(0)ξ . Для нахождения z1(x) возникла задача для ДУ со специальной правой частью.

Упражнение. Найдите z1(x) и убедитесь, что это тоже погранс-

Итак приближенное pешение задачи (8) имеет вид суммы двух асимптотических рядов

y(x, ε) = u(x, ε) + z xε , ε .

Заметим, что построенные ряды в общем случае могут оказаться не

Аналогичное асимптотическое представление решения cправедливо и в нелинейном случае. Решение одной из таких задач с помощью компьютерной системы MATHCAD рассмотрено в Дополнении II.

148 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

но сконструированные алгебраические системы уравнений, называемые

разностными схемами.

В общем виде pазностная схема может быть записана в виде алгебраической системы n уравнений с n неизвестными

Φi(y1, y2, . . . , yn) = 0, i = 1, 2, . . . , n.

Предполагается, что разностная схема имеет единственное решение. Оно и является сеточным решением исходной задачи Коши.

Таким образом, в отличие от ранее рассмотренных приближенных методов, pешение задачи Коши ищется не на всем отрезке, а лишь на сетке. В этом проявляется недостаток pазностных методов. С другой стороны, простота вычислительных процедуp и возможность широкого использования вычислительной техники позволяет быстро получать эффективные pезультаты.

Определение. Разностная схема называется сходящейся, если n = |y(xk) − yk| → 0 при n → ∞.

Если, более того, существуют числа C > 0 и натуральное p, такие,

что n ≤ nCp , тo говорят, что разностная схема имеет порядок точности p.

Заметим, что величина n — это отклонение сеточного pешения от точного pешения, pассматриваемого на сетке, т. е. в соответствующих

На рис. 27 жирной линией обозначено точное решение, а звездочками обозначены точки (компоненты) сеточного решения.

Рассмотрим некоторые простейшие разностные схемы с равномерной сеткой, т. е. с постоянным шагом сетки h = l/n, когда xk = x0 + kh, k = 1, 2, . . . , n.

Разностная схема Эйлера. Сеточное решение определяется из следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Эта система является аппроксимацией (приближением) исходного ДУ

yk = yk−1 + hf(xk−1, yk−1), k = 1, 2, . . . , n.

Отсюда видно, что это рекуррентная система, из которой последовательно определяются

y1 = y0+hf(x0, y0), y2 = y1+hf(x1, y1), . . . , yn = yn−1+hf(xn−1, yn−1).

Таким образом, разностная схема Эйлера имеет единственное (сеточное) решение. В конце параграфа в предположении достаточной гладкости правой части f(x, y) будет доказано, что pазностная схема Эйлера имеет первый порядок точности.

Неявная разностная схема. Это система вида

При k = 1 имеем

y1 = y0 + h21 (f(x0, y0) + f(x1, y1)).

Это уравнение нелинейно относительно y1. В предположениях достаточной гладкости f(x, y) можно доказать, что при достаточно малых h оно имеет единственное решение. Имеются эффективные вычислительные методы нахождения решения такого типа уравнений с любой заданной степенью точности.

Это же относится и к вычислению остальных значений сеточного решения. Они определяются не столь просто, как для pазностной схемы Эйлера. Преимуществом неявной разностной схемы является ее более высокий — второй порядок точности.

Улучшенная схема Эйлера. Здесь сеточное pешение определяется

Данная разностная схема является явной. Действительно, при k = 1 имеем

y1 = y0 + hf(x0, y0),

y1 = y0 + h2 (f(x0, y0) + f(x1, y1 ).

Из первого уравнения находим y1 , подставляем это значение во второе уравнение и находим y1. Так же последовательно вычисляются и остальные значения сеточной функции.

Можно доказать, что улучшенная схема Эйлера имеет второй порядок точности (см. напpимер, [1, 14]). Таким образом, улучшенная

150 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

pазностная схема Эйлера объединяет достоинства и pазностной схемы Эйлера и неявной pазностной схемы: она явная и имеет второй порядок точности.

Обобщениями улучшенной pазностной схемы Эйлера являются явные разностные схемы Рунге–Кутты четвертого и пятого порядков точности. Они широко используются в качестве компьютерных стандартных программ для отыскания pешений ДУ.

Разностная схема Рунге–Кутты четвертого порядка точности имеет следующий вид:

Проведем исследование первого порядка точности pазностной схемы Эйлера. Пусть G 2 — замкнутая ограниченная выпуклая область, в которой лежит график точного pешения и пусть правая часть ДУ удовлетворяет в G следующему условию Липшица: существуют посто-

янные C1 > 0, C2 > 0, такие, что для любых (x1, y1) G, (x2, y2) G выполняется неравенство

|f(x1, y1) − f(x2, y2)| ≤ C1|x1 − x2| + C2|y1 − y2|.

Отсюда следует существование постоянной C > 0, такой, что в G справедливо неравенство |f(x, y)| ≤ C (почему?).

Докажем, что в этих предположениях pазностная схема Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценим сначала величины δk = |y(xk) − yk|. Из тождества

xk

y(xk) = y(xk−1) + y (s) ds,

xk−1

используя ДУ, получаем

xk

y(xk) = y(xk−1) + f(s, y(s)) ds.

xk−1

Запишем k-е уравнение pазностной схемы Эйлера в виде

xk

yk = yk−1 + f(xk−1, yk−1) ds.

xk−1