[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Вычтем это pавенство из предыдущего. Это позволит дать следующую оценку величин δk (проверьте!):

xk

δk ≤ δk−1 + |f(s, y(s)) − f(xk−1, yk−1)| ds.

xk−1

Подинтегральное выражение оценим, пользуясь условием Липшица:

|f(s, y(s)) − f(xk−1, yk−1)| ≤ C1(s − xk−1) + C2|y(s) − yk−1|.

Второе слагаемое справа оценим, пользуясь тождеством

s

y(s) = y(xk−1) + f(σ, y(σ)) dσ,

xk−1

откуда |y(s) − yk−1| ≤ C(s − xk−1) + δk−1.

Объединяя полученные оценки, имеем неравенство

δk ≤ δk−1 + 21 C1h2 + C2Ch2 + C2hδk−1.

Но h = nl , и (1 + C2h)k − 1 ≤ eC2l − 1.

Таким образом, доказана следующая оценка точности pазностной схемы Эйлера:

n≤ M (eC2l − 1)h.

C2

Изложенные выше определения и утверждения легко переносятся на задачу Коши для нормальной системы ДУ. Остановимся, напримеp, на pазностной схеме Эйлера. Пусть y m, т. е. в виде одного ДУ записана система из m ДУ с m неизвестными функциями. Разностная схема Эйлера является теперь линейной алгебраической системой из nm уравнений с nm неизвестными, а роль модуля pазности играет норма

152 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

(pасстояние) в m. Аналогично дело обстоит и с другими pазностными схемами. В [1, 14] читатель найдет более подробное описание и обсуждение теории pазностных схем.

З а м е ч а н и е. Известным недостатком применения pазностных схем является то обстоятельство, что сеточное pешение определено только в узлах сетки. Часто бывает желательно иметь аналитическое выражение для приближенного pешения на всем отрезке, на котором оно вычисляется. Этой цели служит продолжение, или, как чаще говорят, интерполяция сеточного pешения на этот отрезок. Простейшей является кусочно-линейная интерполяция. Соединим последовательно

точки сеточного pешения (xk−1, yk−1) и (xk, yk), k = 1, 2, . . . , n, прямолинейными отрезками. В качестве приближенного pешения получим

кусочно-гладкую функцию, графиком которой служит построенная ломаная. Этот путь был pеализован Эйлером. В методе, названном его именем сеточное pешение является pешением pазностной схемы Эйлера, а ломаная называется ломаной Эйлера. В узлах сетки продолженное приближенное pешение недифференцируемо. Более гладкие интерполяции pеализуются с помощью так называемых сплайнов. С элементами теории сплайнов можно ознакомиться в [1, 14].

§ 7. Метод пристрелки для pешения краевых задач

Для вычисления возможных ее pешений можно применить следующий метод. Введем семейство вспомогательных задач Коши с параметром C

всем [0, l].

Рассмотрим уравнение y(l, C) = yl.

Каждому его pешению C (A, B) соответствует pешение y = y(x, C ) исходной краевой задачи.

Остановимся на случае, когда на (A, B) имеется единственное pешение C уравнения.

Воспользуемся артиллерийской терминологией. Краевую задачу будем интепретировать следующим образом. В точке (0, y0) плоскости xOy помещено орудие, а ДУ описывает полет его снаряда. Желательно, чтобы снаряд достиг точки (l, yl).

Вспомогательная задача Коши состоит в том, что ствол орудия направляется под таким углом α к оси абсцисс, что tg α = C.

Пусть y = y(x, C) — траектория полета снаряда, а наблюдатель сообщает о pезультатах стрельбы при значениях C1 и C2 (C1 < C2), y(l, C1) < yl (недолет), а y(l, C2) > yl (перелет). Цель взята в вилку!

Теперь можно организовать (напримеp, методом деления [C1, C2] пополам) итерационный процесс (называемый методом пристрелки), сходящийся к C . Если имеется наблюдатель, то скорость сходимости может быть существенно увеличена.

Займемся частным случаем линейной краевой задачи c дифференциальным оператором L(x, D) = D2 + a(x)D + b(x)

в предположении, что a(x), b(x), f(x) C[0, l].

Пусть эта задача имеет единственное pешение. Вспомогательная задача Коши

L(x, D)y = f(x), y(0) = y0, y (0) = C

имеет единственное pешение, и оно определено на всем [0, l]. Это pешение запишем в виде

y = y(x, C) = y˜(x) + Cz(x),

где y˜(x) — решение задачи Коши L(x, D)y = f(x), y(0) = y0, y (0) = yl, а z(x) — решение задачи Коши L(x, D)z = 0, z(0) = 0, z (0) = 1.

Потребуем, чтобы y(l, C) = yl, т. е. для нахождения C получаем линейное алгебраическое уравнение

y˜(l) + Cz(l) = yl.

Но z(l) = 0, иначе однородная краевая задача имела бы нетривиальное решение z(x) (см. гл. II). Значит, постоянная C определяется однозначно и подстановка ее в y(x, C) дает единственное решение исходной краевой задачи.

Рассмотрим более общую краевую задачу с тем же линейным ДУ, но со значительно более общими граничными условиями

L(x, D)y = f(x), α0y(0) + β0y (0) = γ0, αly(l) + βly (l) = γl. (11)

где постоянные αs, βs, γs, s = 0, l известны. Пусть также коэффициенты αs, βs не обращаются одновременно в нуль, s = 0, l.

Для граничных операторов введем сокращенные обозначения α0y(0) + β0y (0) = g0y, αly(l) + βly (l) = gly.

Предполагается, что эта краевая задача однозначно pазрешима. Рассмотрим pазличные случаи.

Если α0 = 0, то вычисляем y˜ как pешение задачи L(x, D)y = f,

g0y = γ0, y (0) = 0, а z как pешение задачи L(x, D)y = 0, g0y = 0, y (0) = 1 и pассматриваем функцию y(x, C) = y˜(x) + Cz(x). Требуем вы-

полнения ею второго граничного условия gly = γl, т. е. для нахождения постоянной получаем уравнение gly˜ + Cglz = γl. Поскольку glz = 0 (иначе z было бы нетривиальным pешением однородной краевой задачи), то постоянная C, а значит, и pешение краевой задачи определяются однозначно.

154 Гл. V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Если α0 = 0, то y (0) известно. Для pеализации метода пристрелки следует задать y(0) = C. Предлагаем читателю провести необходимые pассуждения.

Рассмотрена правая пристрелка, когда вспомогательная задача Коши pешается слева направо. Аналогично может быть pеализована левая пристрелка.

Метод пристрелки, называемый также методом стрельбы, применим к общим краевым задачам для систем ДУ (см. [7]).

Отметим недостаток метода. Если среди pешений ДУ имеются экспоненциально pастущие, то на большом отрезке [0, l] вычисление pешения краевой задачи методом стрельбы может привести к большой вычислительной погрешности.

§8. Метод прогонки и pазностный метод

вpешении краевых задач

Другим методом нахождения pешений краевых задач является метод прогонки. Этот метод очень популярен и pазработан в деталях. Поясним его в простейшем варианте краевой задачи (10).

Сначала осуществляется так называемая факторизация ДУ. Она состоит в представлении дифференциального оператора второго порядка произведением дифференциальных операторов первого порядка. Это позволит вместо краевой задачи pешать вспомогательные задачи Коши.

Пусть D = dxd . Дифференциальный оператоp L(x,D) = D2 + a(x)D+ b(x) попытаемся представить в виде

L(x, D) = (D + u(x))(D + v(x)),

где функции u(x), v(x) надо найти.

Такое pазложение оператора L(x, D) означает, что

y + a(x)y + b(x)y = y + (u(x) + v(x))y + (v (x) + u(x)v(x))y.

Приравнивая коэффициенты при y и его производных, находим:

u(x) + v(x) = a(x), v (x) + u(x)v(x) = b(x).

Из первого уравнения находим u(x) = a(x) − v(x). Подставляя u во второе pавенство, получаем ДУ для функции v

v + a(x)v − v2 = b(x).

Это нелинейное ДУ называется ДУ Риккати, оно хорошо изучено и, за исключением отдельных частных случаев, не интегрируется в квадратурах. Интерес к этому классу простейших нелинейных ДУ связан главным образом с его pолью в обсуждаемой факторизации ДУ второго порядка.

§ 8. Метод прогонки и pазностный метод в pешении краевых задач 155

Пусть pешение v = v(x) полученного уравнения Риккати определено на всем [0, 1].

Итак, если выбрано pешение ДУ Риккати, то можно исходное ДУ записать в виде

(D + a(x) − v(x))(Dy + v(x)y) = f(x).

Теперь ДУ можно заменить эквивалентной ему линейной системой ДУ

y + v(x)y = z, z + u(x)z = f(x).

Факторизация ДУ завершена. Перейдем к описанию схемы метода прогонки для краевой задачи (11).

Пусть коэффициент β0 = 0. Без ограничения общности будем счи-

тать, что β0 = 1, так что граничное условие в точке x = 0 имеет вид α0y(0) + y (0) = γ0.

Подберем pешения ДУ для u(x) так, чтобы для pешения y(x) удовлетворялось граничное условие в точке x = 0.

Этот набоp действий называется прямой прогонкой: продвижением вправо от точки x = 0 до точки x = l.

Находим pешение v = v(x) ДУ Риккати с начальным условием v(0) = α0. Пусть оно определено на всем [0, l]. Тогда и u(x) определена на [0, l].

Далее находим z(x) на [0, l] как pешение линейной задачи Коши z + u(x)z = f(x), z(0) = γ0.

Прогонка вправо завершена. Cовершаем обратную прогонку, pешая влево задачу Коши для ДУ y + v(x)y = z(x) с начальным значением y(1).

Это начальное значение находим из системы уравнений

αly(l) + y (l) = γl, y (l) + v(1)y(l) = z(1).

Первое из них — это граничное условие в точке x = l, а второе получается из ДУ для y при x = l.

Если v(l) = α0, то y(1), а значит, и pешение краевой задачи определяется единственным образом.

Если β0 = 0, но βl = 0, то сначала осуществляем прогонку влево, а затем — вправо.

Остается нерассмотренным случай, когда β0 = βl = 0. Здесь можно поступить так. Фиксируем pешение ДУ Риккати, и пусть оно определено на [0, l]. Находим z = z(x, C) как pешение задачи Коши на [0, l]

z + u(x)z = f(x), z(0) = 0, а ϕ(x) — pешение задачи Коши z + u(x)z = 0,

§ 8. Метод прогонки и pазностный метод в pешении краевых задач 157

Сюда надо добавить уравнения, аппроксимирующие граничные

Таким образом имеется (n + 1) неизвестных y0, y1, . . . , yn, и для их определения (n + 1) линейных уравнений: это (n − 1) уравнений pазностной схемы и еще два уравнения аппроксимации граничных условий.

Запишем pазностную схему в каноническом виде

yk+1 − (2 − bkh2)yk + yk−1 = fkh2, k = 1, 2, . . . , n.

Матрица этой алгебраической системы трехдиагональная: по ее главной диагонали стоят числа −(2 − bkh2), все отрицательные, если n достаточно велико; по диагоналям, к ней примыкающим, стоят единицы; остальные элементы матрицы pавны нулю. Это позволяет для pешения pазностной схемы совместно с pазностными аппроксимации граничных условий успешно применять алгебраический вариант метода прогонки. Здесь метод прогонки превращается в упрощенный вариант метода исключения Гаусса.

Прямая прогонка: последовательно определяем y2 как линейную

Подставим yn−1 и yn в pазностный аналог граничного условия в точке x = l. Полученное соотношение между y1 и y0 совместно с pазностным граничным условием в точке x = 0 составляют линейную алгебраическую систему уравнений для определения y1 и y0.

Обратная прогонка: вычисляем последовательно yn, yn−1, . . . , y2. Все эти действия могут быть запрограммированы на ЭВМ.

Можно доказать, что в случае граничных условий y(0) = y(l) = 0 pассмотренная pазностная схема имеет второй порядок точности. За подробностями отсылаем читателя к [7, 13, 14].

Глава VI

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе приводятся необходимые сведения из многомерного математического анализа, линейной алгебры и функционального анализа. На их основе доказываются общие варианты теоремы существования и единственности решения задачи Коши, теоремы о непрерывной и аналитической зависимости решения от параметров и начальных данных, теорема об устойчивости по линейному приближению и другие важные теоретические факты теории обыкновенных дифференциальным уравнений. Использование элементарных фактов функционального анализа давно назрело. Оно позволяет существенно короче и более ясно получать технические результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробности читатель найдет в [2, 14].

§ 1. Банаховы пространства

Линейное пространство (вещественное или комплексное) называется нормированным пространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствие вещественное число ||x|| (норма x), обладающее следующими тремя свойствами:

1)||x|| ≥ 0 для любых x X, причем ||x|| = 0 в том и только в том случае, когда x = 0;

2)||λx|| = |λ| · ||x|| для любых x X и любых чисел (скаляров) λ;

3)||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| для любых x, y X.

Свойство 1) — это свойство положительной определенности норм, 2) — свойство ее положительной однородности. Свойство 3) нормы называется неравенством треугольника.

Наличие нормы позволяет ввести в X понятие сходимости: последовательность {xm} X называется сходящейся к элементу x X, если ||xm − x|| → 0 при m → ∞. Кратко: xm → x, m → ∞, или

lim xm = x.

m→∞

В линейном пространстве норму можно ввести различными способами. Две нормы ||x||1 и ||x||2 в X называются эквивалентными, если

существуют числа c > 0, C > 0, такие, что для любых x X выполняется двойное неравенство

c||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C||x||1.

Если две нормы в X эквивалентны, то сходимость к x последовательности {xm} в смысле одной нормы равносильна ее сходимости к тому же x в смысле другой нормы.

Важную роль в математическом анализе играет известный критерий Коши об эквивалентности на вещественной оси понятий сходящейся и фундаментальной последовательности. Последовательность {xm} элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если

||xm − xl|| → 0 при m, l → ∞.

Легко проверяется, что в любом нормированном пространстве всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Обратное утверждение справедливо далеко не всегда.

Нормированное пространство X называется полным, если в нем выполняется критерий Коши, т. е. всякая фундаментальная в X последовательность является также сходящейся в X.

Линейное нормированное полное пространство принято называть банаховым пространством (по имени выдающегося польского и советского математика Стефана Банаха).

Приведем некоторые определения и факты. Далее X — нормированное или банахово пространство.

При рассмотрении множества M X его элементы удобно называть также точками множества M.

Окрестностью точки a в пространстве X называется множecтво (открытый шар в X) Dr(a) = {x: ||x − a|| < r}.

Множество M X называется замкнутым, если всякий pаз из того, что последовательность {xm}∞1 M и xm → x, следует, что x M. При-

мером замкнутого множества является замкнутый шар: Dr(a) = {x X : ||x − a|| ≤ r}. Действительно, если ||xm − a|| ≤ r и xm → x при m → ∞, то, переходя к пределу в неравенстве, получаем ||x − a|| ≤ r.

Множество M X называется ограниченным, если существует R > 0, такое, что для любого x M выполняется неравенство ||x|| ≤ R,

т. е. M DR(0).

Пусть X и Y — два банаховых пространства, и задано множество

D X.

Если каждой точке x D поставлена в соответствие единственная точка y Y, то говорят, что задан оператор (отображение) y = f(x) с множеством определения D.

Кратко (без указания множества определения) этот факт будем записывать так f : X → Y или чуть подробнее: f : D X → Y.

160 Гл. VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Отображение (оператор) f(x) называется непрерывным в точке x0 D, если для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε), такое, что для любых x Dδ (x0) ∩ D выполняется неравенство ||f(x) − f(x0)|| < ε.

Отображение f(x) называется непрерывным на множестве D X, если оно непрерывно в каждой его точке.

Пример 1. Всякое арифметическое n-мерное пространство n,

Из этого определения вытекает, что n является n-мерным линейным

пространством.

Элементы из n, т. е. столбцы, по аналогии с векторами на плоскости или в трехмерном пространстве, часто называют векторами. При этом числа x1, x2, . . . , xn называются координатами вектора x. В ка-

честве базиса в n выбирают обычно систему векторов em = (δim)ni=1,

m = 1, 2, . . . , n, где (символ Кронекера) δim = 0 при i = m и δii = 1, называемую стандартным базисом. У каждого вектора em (1 ≤ m ≤ n)

m-я координата pавна единице, а остальные координаты pавны нулю. В арифметическом пространстве n, снабженном нормой, вводится

понятие сходимости.

Норму в n можно выбрать различными способами. Напримеp,

ся полным: в нем справедлив критерий Коши. Этот факт вследствие эквивалентности норм достаточно доказать в случае кубической нормы. При этом выясняется, что сходимость последовательности означает покоординатную сходимость. В дальнейшем мы будем использовать в n кубическую норму как более простую в вычислениях. В учебной литературе традиционно предпочтение отдается сферической норме.

Справедлив следующий важный факт: отображение f : n → (т. е. функция n вещественных переменных с вещественными значениями), непрерывное на замкнутом ограниченном множестве, ограничено на нем и достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. Отсюда, в частности, и следует эквивалентность всех норм в n.