[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Выведенная выше формула описывает при всевозможных значениях y0 все pешения соответствующих задач Коши. На графике (рис. 4) показаны типичные pешения с начальны-

ми значениями y0 < 0, y0 = 0, y0 (0, 1),

y0 = 1, y0 > 1.

Возникает вопрос: не содержит ли эта формула при всевозможных значениях y0

все решения ДУ, т. е. не является ли она формулой общего решения рассматриваемого ДУ? Оказывается, это не так. Дей-

ствительно, функции y = ± 1 −x являют-

1 − e

ся решениями ДУ (пpoверьте!), но они не получаются из нашей формулы ни при каких y0 . Это обстоятельство указывает на литературную некорректность использу-

емого во многих книгах понятия «общего решения» для нелинейного ДУ, использующего термин «произвольная постоянная». Отметим все же, что указанные решения получаются из формулы соответственно при y0 → ±∞, так что при всевозможных y0 , включая «значения» −∞ и +∞, формула содержит все решения ДУ.

Упражнение 1. Нарисуйте графики потерянных решений y = ±1 −1e−x .

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши y = y − y3, y(0) = 2.

Это уравнение Бернулли с α = 3. Условия теоремы Коши выполнены

на всей плоскости 2 переменных x, y. Воспользуемся теоремой Коши и теоремой о сохранении знака непрерывной функции. Из них следует, что существует интервал (a, b), содержащий точку x = 0, на котором данная задача Коши имеет единственное pешение y = y(x) > 0. Разделим при x (a, b) ДУ на y3 и получим задачу Коши для линейного ДУ

относительно функции z = 1 y2

Выражение справа должно быть положительно, т. е. должно выполняться неравенство x > ln 43 . Кроме того, при извлеченни квадратного корня следует взять знак плюс, ибо y(0) > 0.

§ 8. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 33

содержит все решения задач Коши с начальными значениями в точке x = 0. Однако она не является формулой общего pешения ДУ, так как

не содержит решений y = ±p 1 .

1 − e−2x

Эти решения получаются, правда, при y0 → ±∞, так что при всевозможных y0 , включая «бесконечные значения» y = −∞ и y = +∞, формула содержит все решения данного ДУ.

Пример 4. Рассмотрим задачу Коши

2y = y − y1 , y(0) = y0 = 0.

Это уравнение Бернулли с α = −1. Условия теоремы Коши выполнены в одной из областей G− = {(x, y): x , y< 0}, G+ = {(x, y): x , y> 0}.

Упражнение 6. Проведите полное исследование этой задачи при

всевозможных начальных значениях y0 = 0. Покажите, что всякое pеше-

ние исходной задачи Коши дается формулой y = sign y0 1 + (y20 − 1)e2x.

Изобразите типичные интегральные кривые.

Указание. ДУ имеет два постоянных решения y = 1 и y = 1, соответствующих начальным значениям y0 = 1 и y0 = −1.

§8. Дифференциальное уравнение

сразделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется ДУ следующего вида:

Его правая часть представляет собою произведение функции от x на

на (c, d)). Каждый из интервалов (a, b), (c, d) может быть конечным либо бесконечным. Эти условия обеспечивают применимость теоремы Коши в области G = {(x, y): x (a, b), y (c, d)}.

Рассмотрим для нашего ДУ задачу Коши с начальным условием (2)

y(x0) = y0, где x0 (a, b), y0 (c, d). Согласно теореме Коши данная задача Коши имеет единственное pешение y(x), определенное на неко-

тором интервале (α, β) (a, b), содержащем точку x0. Укажем путь нахождения этого решения при различных вариантах начальных зна-

чений y0.

Выделим сначала особый случай, когда q(y0) = 0. Здесь постоянная функция y(x) = y0 является решением рассматриваемой задачи Коши на всем интервале (a, b): она удовлетворяет и ДУ, и начальному условию.

Переходим к основному случаю, когда q(y0) = q(y(x0)) = 0. Так как суперпозиция q(y(x) непрерывна в точке x0, то по теореме о сохранении знака непрерывной функции найдется содержащий точку x0 интервал,

3 В.А. Треногин

36Гл. I. Дифференциальные уравнения первого порядка

Те о р е м а К о ш и – П е а н о. Пусть в замкнутой области G не-

прерывна функция f(x, y). Тогда для любой точки (x0, y0) G най-

дется интервал (α, β), содержащий точку x0, на котором существует решение y = y(x) задачи Коши (1), (2).

Доказательство теоремы можно найти в книге [13]. Проиллюстрируем эту теорему примером. Рассмотрим следующую задачу Коши:

y = 3y2/3, y(0) = 0.

Условия теоремы Коши–Пеано выполняются во всей плоскости переменных x, y, и, значит, вблизи начальной точки данная задача Коши имеет локальное pешение. Одно из ее решений очевидно: это — тривиальное pешение y(x) = 0. Непосредственной проверкой убеждаемся,

что y = x3 также является решением данной задачи Коши. Таким образом, рассмотренная задача имеет по крайней мере два непродолжимых решения, определенных на всей

решения можно сконструировать бесконечное множество pешений pассматриваемой общей задачи Коши.

Пусть y0 > 0 и c = x0 − y10/3. Тогда решениями задачи Коши являются определенные на (−∞, +∞) следующие функции:

1)y = (x − c)3;

2)составная функция

Упражнение. Изобразите графики решений в остальных случаях. З а м е ч а н и е. Если y0 > 0, то в верхней полуплоскости y > 0 выполнены условия теоремы Коши и существует локально единственное pешение задачи Коши, но как только это pешение достигнет нуля его

продолжение влево становится неоднозначным.

Аналогично обстоит дело при y0 < 0 и при y0 = 0.

Таким образом, всякая задача Коши для рассматриваемого уравнения имеет бесконечно много непродолжимых решений, определенных на всей вещественной оси.

О п р е д е л е н и е. Решение y = y(x) ДУ называется его особым решением, если через каждую его точку проходит по крайней мере еще одно pешение этого ДУ, отличное от y(x).

Для рассмотренного ДУ pешение y(x) = 0 является особым решением.

В заключение параграфа приведем примеp, имеющий любопытную физическую интерпретацию. Выведем ДУ, описывающее истечение воды из дырявого ведра. Пусть x = x(t) — высота воды в ведре в момент времени t. Тогда кинетическая энергия воды, вытекающей из ведра,

1 dx 2

2 dt

Получаем ДУ

dx =

dt

− |x|.

Его pешение зависит от произвольной постоянной интегрирования c

Зафиксируем T > 0. Рассмотрим решения с произвольным c < T, удовлетворяющие начальному условию x(T) = 0. Условие x(T) = 0 означает, что ведро пусто в момент t = T. В какой момент t < T оно было полным? Этого мы не знаем и узнать не можем! Проведенное математическое исследование данной физической задачи показывает, что ведро могло быть полным в любой момент c < T.

Данный примеp убедительно свидетельствует о том, что описание реального явления (процесса) посредством дифференциального уравнения в отсутствии единственности решения задачи Коши теряет свой детерминизм (предопределенность, предсказуемость), или, другими словами, перестает описывать эволюционные, т. е. однозначно развивающиеся процессы.

§ 10. Дифференциальные уравнения и неявные функции

1◦. Теорема о неявной функции. Приведем необходимые сведения из математического анализа. Пусть на множестве G 2 задана функция F(x, y), причем 0 R(F) — ее области значений. Рассмотрим уравнение

в котором y играет роль неизвестной функции, а x — роль параметра.

Определение 1. Всякая функция y = y(x) называется неявной функцией, определяемой уравнением (15), если существует интервал (a, b), такой, что:

1)y(x) определена на (a, b) и на этом интервале (x, y(x)) G;

2)F(x, y(x)) = 0 для всех x (a, b).

Приведем формулировку теоремы о неявной функции в удобной для нас форме (доказательство см. в [8]).

Теорема. Пусть функция F(x, y) непрерывно дифференцируема в области G.

Пусть далее, F(x0, y0) = 0, а частная производная Fy(x0, y0) = 0. Тогда найдутся числа r > 0 и ρ > 0, такие, что при всех y,

удовлетворяющих неравенству |y − y0| < r, уравнение (15) определяет единственную неявную функцию y = y(x), дифференцируемую на (x0 − ρ, x0 + ρ), на котором

Замечание 1. Теорема носит локальный характеp: существование единственной неявной функции гарантировано только в некоторой окрестности точки (x0, y0).

Отметим тесную связь между задачей Коши для ДУ и задачей отыскания неявной функции.

2◦. Неявная функция является решением задачи Коши (16), (17). Это позволяет применить для отыскания неявных функций широко развитые методы решения ДУ, в частности, приближенные методы (см. [1] и главу V настоящей книги).

3◦. Иногда задачу Коши для ДУ удается свести к задаче о неявной функции. Здесь важное значение имеет понятие первого интеграла ДУ. Пусть дано ДУ (1) y = f(x, y) в условиях теоремы Коши.

Определение 2. Функция Φ(x, y), определенная в области G 2 и не равная в ней постоянной функции, называется первым интегралом ДУ (1) в этой области, если для любого решения ДУ (1) y = y(x), x (a, b), график которого лежит в G, и для любых x (a, b) существует постоянная C, такая, что выполняется тождество Φ(x, y(x)) = C.

Подчеркнем, что постоянная C зависит от решения (каждого на своем интервале определения (a, b)) и не зависит от x (a, b).

Если существует первый интеграл Φ(x, y) ДУ (1), то решения этого

где C — постоянная, принимающая любые значения из R(Φ) — области значений функции Φ (произвольная постоянная в этом смысле).

Если задано начальное условие, то C = Φ(x0, y0).

З а м е ча ние 2. В случае наличия первого интеграла ДУ всякий метод аналитического или приближенного вычисления неявной функции может быть использован для решения соответствующей задачи Коши.

4◦. Обсудим вопрос о существовании первого интеграла. Рассмотрим ДУ вида

впредположении, что функции P(x, y) и Q(x, y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными Py(x, y) и Qx(x, y)

водносвязной области G.

Воспользуемся важным понятием потенциального векторного поля (см. [8]).

Определение 3. Векторное поле (P(x, y), Q(x, y)) называется потенциальным в области G, если в ней существует непрерывно дифференцируемая функция Φ(x, y), такая, что для всех (x, y) G выполняются тождества

Φx(x, y) = P(x, y), Φy(x, y) = Q(x, y).

Напомним еще следующий факт из математического анализа. Если область односвязна, векторное поле (P(x, y), Q(x, y)) гладкое и Py(x, y) = Qx(x, y) в G, то это векторное поле потенциально и его потенциал можно вычислить в виде криволинейного интеграла второго рода по формуле

(x, y)

Φ(x, y) = P(ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη.

(x0, y0)

Пусть Φ(x, y) — потенциал векторного поля (P(x, y), Q(x, y)). Тогда

ДУ (19) можно записать в виде dΦ(x, y(x)) = 0. Отсюда следует, что для dx

каждого решения y = y(x) ДУ (19) в области G выполняется тождество Φ(x, y(x)) = C с постоянной интегрирования C R(Φ) и, значит, в G Φ(x, y) является первым интегралом ДУ.

Аналогично, можно рассмотреть ДУ

если ставится задача о нахождении x как функции от y.

5◦. Уравнение в дифференциалах и уравнение в полных дифференциалах. Вспоминая, что производная является отношением дифференциалов, оба ДУ (18) и (19) можно записать в симметричной форме

Это ДУ называется уравнением в дифференциалах.

Если векторное поле (P(x, y), Q(x, y)) потенциально и Φ(x, y) — его потенциал, то ДУ (21) принято называть уравнением в полных дифференциалах. В этом случае ДУ может быть записано в виде dΦ(x, y) = 0, так что Φ(x, y) является его первым интегралом.

П р и м е р. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу Коши

Представим ее ДУ в виде уравнения в дифференциалах (3x2y2)dx + (2x3y + 4y3)dy = 0.

Здесь P(x, y) = 3x2y2, Q(x, y) = 2x3y + 4y3). Поскольку Qx = 6x2y = Py, то векторное поле (P, Q) потенциально.

Значит, выражение левой части последнего ДУ является полным дифференциалом некоторой функции Φ(x, y).

Упражнение 1. Исходя из равенств ∂∂Φx = 3x2y2, ∂∂Φy = 2x3y + 4y3

покажите, что Φ(x, y) = y4 + y2x3 + C, где C — постоянная интегрирования.

Воспользовавшись начальным условием находим уравнение y4 + + y2x3 − 1 = 0, определяющее pешение исходной задачи Коши как

ваемую интегрирующим множителем, после умножения на которую уравнение в дифференциалах становится уравнением в полных дифференциалах (см. [3]).

Замечание 4. Более естественно вместо уравнения в дифференциалах рассматривать соответствующую ему автономную систему ДУ (см. гл. IV, § 2).

6◦. ДУ, не разрешенные относительно производной. Иногда в приложениях встречаются ДУ, не разрешенные относительно производной: Φ(x, y, y ) = 0. Пусть функция Φ(x, y, z) достаточно гладкая в окрест-

ности точки (x0, y0, y1) и пусть Φ(x0, y0, y1) = 0, Φz(x0, y0, y1) = 0. Пользуясь теоремой о неявной функции (для случая трех переменных,

см. [8]), можно разрешить ДУ локально относительно y и свести его

кстандартному виду y = f(x, y).

Впримере предыдущего пункта как раз и встретилось такое ДУ. Для интегрирования ДУ, не разрешенного относительно производ-

ной, иногда бывает полезен метод введения параметра (см. [13]).

§11. Уравнения в дифференциалах

ифункции, заданные параметрически

ВДУ (1) x играет роль независимой переменной, а y — роль неизвестной функции. Как уже отмечалось, в некоторых прикладных за-