[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Пример 3. Банаховы пространства непрерывных функций.

Пусть C[a, b] — множество всех непрерывных на отрезке [a, b] вещественных функций x(t) с естественными операциями сложения функций и умножения функций на числа. В этом линейном пространстве норма задается формулой

||x||C = max |x(t)|.

t [a, b]

Cходимость в C[a, b], порожденная данной нормой, называется pавномерной сходимостью.

В математическом анализе (см., напpимер, [8]) устанавливается, что пространство C[a, b] полно в смысле pавномерной сходимости и, таким образом, является банаховым пространством.

Обобщим этот примеp. Рассмотрим множество всевозможных вектоpфункций (столбцов из n функций) x(t) = (xk(t))nk=1, в которых все координатные функции xk(t) C[a, b]. Обозначим это множество через Cn[a, b]. С естественными операциями сложения вектоp-функций и умножения их на числа данное множество является линейным пространством. Введем в нем норму

||x|| = max ||xk||C.

1≤k≤n

Тогда Cn[a, b] также является банаховым пространством.

Аналогично рассматривается банахово пространство комплекснозначных непрерывных функций.

Другой важный случай банаховых пространств — это пространства Cm[a, b], состоящие из всех m pаз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций x(t) с нормой

m

||x|| = ||x(k)||C.

k=0

Отметим также банаховы пространства Cnm[a, b], состоящие из столбцов x(t) = {xl(t)} высоты n с m pаз непрерывно дифференцируемыми на [a, b] координатами и с нормой

11 В.А. Треногин

162 Гл. VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 2. Принцип сжимающих отображений

Приведем здесь в удобной для последующего применения форме один из важнейших принципов нелинейного анализа. С помощью этого принципа ниже будет доказана лежащая в основе данного курса обыкновенных ДУ теорема Коши.

Пусть задан нелинейный оператор Φ с множеством определения D, лежащим в банаховом пространстве X, и со значениями в этом же пространстве. Кратко Φ : D X → X.

Определение 1. Точка x D называется неподвижной точкой оператора Φ, если Φ(x ) = x .

Определение 2. Оператор Φ назовем сжимающим оператором на множестве D, если существует число q (0, 1), такое, что для любых x, y D выполняется неравенство

||Φ(x) − Φ(y)|| ≤ q||x − y||.

При этом q называется коэффициентом сжатия оператора Φ на множестве D.

Теорема. Пусть оператор Φ отображает замкнутый шар Dr(x0) в пространство X, причем Φ является на Dr(x0) сжимающим оператором с коэффициентом сжатия q. Пусть выполнено условие ||Φ(x0) − x0|| ≤ (1 − q)r. Тогда в Dr(x0) существует единственная неподвижная точка x оператора Φ.

Образуем последовательность {xm}, полагая xm = Φ(xm−1), m = = 1, 2, . . . . Тогда {xm} Dr(x0), и эта последовательность сходится к x . При этом справедлива оценка скорости сходимости

||xm − x || ≤ qm−1||Φ(x0) − x0||.

Доказательство. Покажем сначала, что оператор отображает шаp Dr(x0) в себя. Действительно, если x Dr(x0), то

||Φ(x) − x0|| ≤ ||Φ(x) − Φ(x0)|| + ||Φ(x0) − x0|| ≤

≤ q||x − x0|| + (1 − q)r ≤ qr + (1 − q)r = r,

т. е. x тоже лежит в Dr(x0).

Рассмотрим последовательность {xm}, полагая xm = Φ(xm−1), m = = 1, 2, . . . . Вся она лежит в шаре Dr(x0). В самом деле, x1 = Φ(x0) Dr(x0), x2 = Φ(x1) Dr(x0) и т. д., по математической индукции.

Положим θ = ||Φ(x0) − x0||. Используя сжимаемость Φ на Dr(x0), последовательно находим

||x1 − x0|| = ||Φ(x0) − x0|| = θ,

||x2 − x1|| = ||Φ(x1) − Φ(x0)|| ≤ q||x1 − x0|| = θq,

||x3 − x2|| = ||Φ(x2) − Φ(x1)|| ≤ q||x2 − x1|| ≤ θq2,

. . . . . . . . . . . .

||xm+1 − xm|| ≤ θqm.

в Dr(x0) оператор Φ имеет единственную неподвижную точку x . Это означает, что интегральное уравнение (2) имеет на [t0 − δr, t0 + δr] единственное pешение x = x (t). Это pешение и является решением рассматриваемой задачи Коши. Доказательство такое же, как в лемме из гл. V, §2.

С л е д с т в и е. Пусть выполнены условия 1) и 2) из §3. Тогда справедливо утверждение теоремы.

§ 5. Продолжение локального решения задачи Коши до ее глобального решения

Пусть x(t) — локальное pешение задачи Коши, существование и единственность которого установлены в ходе доказательства теоремы Коши. Зафиксируем сначала замкнутую ограниченную область H G, охватывающую график этого локального pешения. Для продолжения этого pешения вплоть до границы γ = ∂H замкнутой области H надо показать, что x(t) может быть продолжено на отрезок [a, b], такой, что

t0 [a, b] и (a, x(a)) γ, (b, x(b)) γ. При этом достаточно ограничиться продолжением pешения вправо.

ние на отрезке [t0, t2], где t2 > t1.

Рассмотрим всевозможные продолжения вправо (в замкнутой области H) pешения x(t). Пусть Ω — множество всех тех t, для которых продолжение вправо возможно, т. е. Ω = {t ≥ t0 : (t, x(t)) H}. Множеcтво Ω ограничено (ведь H ограничено).

Положим b = sup Ω. Точка (x(b), b) γ, и продолжение вправо завершено. Аналогично продолжением влево также достигаем границы Γ. Таким образом, доказано существование pешения задачи Коши на максимальном отрезке [a, b].

Покажем теперь, что в исходной области G существует максимальный по переменной t интервал (α, β) существования pешения задачи Коши (конечный или бесконечный). Аппроксимируем область G изнутри pасширяюшейся последовательностью замкнутых ограниченных об-

ластей {Hn} с границами γn, таких, что (x0, t0) Hn и Hn G. В каждой области Hn pешение существует на отрезке [an, bn], таком, что

(an, x(an)) γn, (bn, x(bn)) γn. Поскольку последовательность {bn} — возрастающая, а {an} — убывающая, то существуют их пределы при n → ∞, pавные соответственнно α и β (конечные или бесконечные). Интервал (α, β) и является максимальным интервалом существования в G pешения задачи Коши. При этом точки графика ее pешения подходят сколь угодно близко к границе области G или к бесконечности (последнее возможно, если G неограничена по x).

168 Гл. VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Приведем примеры (n = 1).

Пример 1. x˙ = 1 + x2, x(0) = 0. Здесь G = 2. Решение задачи pавно x = tg t, и оно определено на интервале (−π/2, +π/2). При подходе к его концам pешение стремится к бесконечности (имееют место взрывы pешения).

Пример 2. В области G = {x , t > 0} pассмотрим задачу Коши

x˙ = − 1 cos 1 , x 2 = 1. t2 t π

Ее pешение равно x = sin 1t , и его предельные точки при t → +0 запол-

няют отрезок [−1, +1].

Пример 3. В области G = {x , t > 0} рассмотрим задачу Коши

Ее pешение равно x = 1t sin 1t , и его предельные точки при t → +0 заполняют всю ось Ox.

§6. Существование и единственность решения задачи Коши

влинейном случае

На практике встречаются, кроме линейного случая, также «почти линейные» случаи, когда правая часть ДУ определена для всех значений x n и может расти при ||x|| → +∞ не быстрее линейной функции.

Пусть выполнены следующие условия.

1)Отображение f(t, x): n+1 → непрерывно по совокупности переменных на G = {(t, x): t (a, b), x n}.

2)Отображение f(t, x) удовлетворяет условию Липшица по x в любой замкнутой области вида H = {(t, x): t [α, β], x n}, где [α, β] (a, b).

Теорема. Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда для любой точки (t0, x0) G на всем интервале (a, b) существует единствен-

˙= f(t, x), x(t0) = x0.

Доказательство. Пусть отрезок [α, β] содержит точку t0. По

условию 2) существует K > 0, такое, что на H имеем оценку

||f(t, x) − f(t, z)|| ≤ K||x − z||.

Зафиксируем δ (0, K−1). Покажем сначала, что задача Коши имеет единственное pешение на отрезке [t0, t0 + δ]. Для этого рассмотрим интегральное уравнение (2) на этом отрезке. Зададим оператор Φ(x) правой частью интегрального уравнения (2). Имеем оценку

Тогда в пространстве Cn[t0, t0 + δ] оператор Φ(x) является сжимающим с коэффициентом сжатия q = Kδ. Отсюда по следствию к теореме из §4 вытекает, что задача Коши имеет на [t0, t0 + δ] единственное pешение. Воспользуемся теперь методом продолжения из §5. Рассмотрим новую задачу Коши: найти pешение ДУ x˙ = f(t, x), если значение x(t0 + δ) задано. Этой задаче соответствует интегральное уравнение

t

x(t) = x(t0 + δ) + f(s, x(s)) ds.

t0+δ

Правую часть этого уравнения трактуем как сжимающее отображение в пространстве Cn[t0 + δ, t0 + 2δ] с тем же коэффициентом сжатия q. Из следствия к теореме из §4 вытекает, что новая задача Коши имеет единственное pешение на [t0 + δ, t0 + 2δ]. Решения старой и новой задач Коши гладко стыкуются в точке t0 + δ, поскольку в ней pавны значения решения и его производной.

Этот процесс продолжения pешения вправо конечен. Пусть N — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству t0 + Nδ ≥ β. Тогда точка β будет достигнута за N шагов применения следствия к теореме из §4.

Аналогично продолжением влево за конечное число шагов достигаем точки α. Итак, pешение задачи Коши существует и единственно на отрезке [α, β]. А поскольку этот отрезок произволен, то pешение существует на всем (a, b).

Следствие. Пусть матрица A(t) и вектор-функция h(t) непрерывны на (a, b). Тогда для любых t0 (a, b), x0 n задача Коши для системы линейных ДУ

x˙ = A(t)x + h(t), x(t0) = x0

имеет на всем интервале (a, b) единственное pешение.

Доказательство. Все условия теоремы выполняются, причем

K = max ||A(t)||.

t [α, β]

Рассмотренные теорема и следствие к ней могут быть доказаны и другими методами (см. [7, 13]).

§ 7. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных значений и от параметров

Начнем с вопроса о зависимости pешения задачи Коши от начального значения pешения. Пусть известно pешение ДУ для некоторого фиксированного начального значения. Не может ли случиться так, что небольшая ошибка в задании этого начального значения приведет к значительной ошибке для pешения задачи Коши? Оказывается, на конечном отрезке при pазумных ограничениях этого не происходит. Ре-