[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

122 Гл. IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости

Поясним теперь определение 2 и обозначение V˙ . Пусть x(t) — некоторое pешение ДС на интервале (α, β) со значениями в S. Тогда по правилу дифференцирования композиции (сложной функции), учитывая ДС, на этом интервале получаем

dtd V(x(t)) = V (x(t))x˙ (t) = V (x(t))f(x(t)) = V˙ (x(t)).

Таким образом, V˙ является производной функции V вдоль всякой траектории ДС, или, что то же, вдоль векторного поля ДС.

Приведем, наконец, центральное определение этого параграфа. Определение 3. Пусть a — положение pавновесия ДС. Функ-

ция V(x), определенная и дифференцируемая в окрестности S точки a, называется функцией Ляпунова, если:

1)V(x) положительно определенная в S;

2)в S неположительна производная функции V(x) в силу динами-

ческой системы, т. е. для всех x S выполняется неравенство V˙ (x) ≤ 0. Если условие 2) выполняется в усиленной форме: V˙ (x) отрицательно определенная функция в S, то V(x) называется строгой функцией

Ляпунова.

Приступим теперь к формулировке двух теорем Ляпунова, составляющих наиболее важную часть положений метода функций Ляпунова.

Теорема 1. Пусть в окрестности положения равновесия ДС существует функция Ляпунова. Тогда это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и будет приведено в §9.

Теорема 2. Пусть в окрестности S положения равновесия ДС существует строгая функция Ляпунова V(x). Тогда это положение pавновесия a асимптотически устойчиво.

Cтрогое доказательство теоремы 2 будет дано в §9, а пока приведем наглядные геометрические соображения, подтверждающие справедливость утверждения теоремы. Рассмотрим окружающие положение pав-

x Σr вектоp f(x) образует тупой угол с вектором grad V(x). Это означает, что вектоp f(x) направлен внутрь области, ограниченной поверх-

ностью ΣR и, следовательно, каждая траектория, пересекающаяся с ΣR в точке x, входит в эту область. Уменьшая R, получаем аналогичную картину, и, следовательно, траектории стремятся войти в положение pавновесия. На pис. 21 описанная ситуация изображена в плоском случае x 2. Отмечены кривая постоянного уровня V(x) = R, касательная к ней в некоторой точке x, вектоp нормали grad V(x) и образующий с ним тупой угол вектоp f(x).

Замеч ание. Как уже отмечалось, производную функции V(x) в силу ДС можно называть также производной этой функции по направлению векторного поля f(x). Это понятие является обобщением известного из математического анализа понятия производной функции V(x) по направлению, заданному еди-

ничным вектором l: ∂∂Vl (x) = (grad V(x), l). В определении V˙ (x) учитываются не только направление вектора f(x), но и его длина.

Производная V˙ (x) играет центральную роль в групповом анализе ДУ (см. [28]), где носит название производной Ли (по имени норвежского математика Софуса Ли).

Построение функции Ляпунова в конкретной ситуации может оказаться трудной задачей. Причина заключается в отсутствии общей методики нахождения функции Ляпунова. Ниже мы ограничимся лишь примерами иллюстративного плана.

Пример 1. Рассмотрим ДС x˙ = −x3 + y2, y˙ = −y5 − xy. Здесь (0, 0) — единственное положение pавновесия, и матрица A нулевая. Теорема об устойчивости по линейному приближению неприменима. Покажем, что V(x, y) = x2 + y2 является строгой функцией Ляпунова.

и является отрицательно определенной функцией. Вывод: положение pавновесия x = 0 асимптотически устойчиво.

Упражнение. Покажите, что начало коодинат (0, 0) является единственным положением pавновесия. Выпишите матрицу A и покажите, что ее собственные значения pавны ±i. Таким образом, и в этом примере теорема об устойчивости по линейному приближению неприменима.

Однако и здесь в качестве функции Ляпунова можно взять функцию V(x, y) = x2 + y2. Действительно, ее производная в силу ДС pавна V˙ = 2x(−y − x(x2 + y2)) + 2y(x − y(x2 + y2)) = −2(x2 + y2)2, т. е. V˙ отрицательно определенная. По теореме 2 (0, 0) — асимптотически устойчивое положение pавновесия.

Выясним более детально характеp положения pавновесия. Пусть

x(t), y(t) — pешение задачи Коши ДС с начальными данными x0, y0. Положим r(t) = V(t), где V(t) = x2(t) + y2(t).

Пусть r0 = r(0), x0 = r0 cos α0, y0 = r0 sin α0.

124 Гл. IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости

Поскольку dtd V = −2V2, то, интегрируя это ДУ с разделяющими-

Поскольку r(t) → 0 при t → +∞, то траектории ДС представляют собою закручивающиеся спирали и положение pавновесия (0, 0) является устойчивым фокусом. Правда, в отличие от линейного случая скорость закручивания здесь не экспоненциальная, а степенная.

§ 8. Положения равновесия консервативных динамических систем

Из теоремы 1 предыдущего параграфа вытекает следующее полезное предложение.

Теорема 1. Если ДС имеет в некоторой окрестности S положения равновесия x = a положительно определенный первый интеграл V(x), то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. По определению первого интеграла для любого решения в x(t) существует постоянная C такая, что U(x(t)) = C. Но тогда V˙ (x) = 0 в S, т. е. V(x) является функцией Ляпунова ДС. (Геометрически равенство нулю производной V˙ вдоль векторного поля ДС означает, что каждая траектория, проходящая через поверхность уровня V(x) = C, целиком лежит на этой поверхности.)

Применим этот результат к ДУ консервативной механической системы в 2 (см. примеp 1 из §2). x¨ + U (x) = 0.

Эквивалентная ДС имеет вид x˙ = y, y˙ = −U (x).

Пусть U (x0) = 0, так что точка x0 является стационарной точкой потенциальной энергии, а точка (x0, 0) является положением pавновесия ДС.

Первый интеграл (интеграл энергии) является функцией двух пе-

ременных и может быть записан в виде V(x, y) = 21 y2 + U(x) − U(x0). Если точка x0 является точкой строгого локального минимума, то интеграл энергии в некоторой окрестности точки (x0, 0) является положительно определенной функцией. Из теоремы 1 вытекает теперь следующее предложение.

Следствие. Если точка x0 является точкой строгого локального минимума потенциальной энергии U(x), то положение pавновесия (x0, 0) устойчиво по Ляпунову.

§ 8. Положения равновесия консервативных динамических систем 125

Замечание 1. Данный факт был открыт Лагранжем. В результате его глубокого обобщения Ляпуновым и появилось понятие функций Ляпунова, называемых иногда энергетическими функциями.

В терминах потенциальной энергии нетрудно дать и достаточные условия неустойчивости по Ляпунову положения pавновесия. Отметим, что выявление неустойчивости крайне важно для конструирования правильно работающих реальных механизмов (см. [54]).

Теорема 2. Пусть потенциал U : → и U(x) дважды непрерывно дифференцируем в окрестности точки x0. Пусть U (x0) = 0, U (x0) < 0. Тогда точка (x0, 0) является неустойчивым по Ляпунову положением равновесия ДС x˙ = y, y˙ = −U (x).

Данная теорема означает, что если x0 — точка строгого локального максимума потенциальной энергии, то точка (x0, 0) является неустойчивым по Ляпунову положением равновесия.

положение равновесия неустойчиво.

Вкачестве обобщения рассмотрим консервативную механическую систему (x n, см. примеp 3 из §2) x¨ + grad U(x) = 0. Эквивалентная ДС — это x˙ = y, y˙ = − grad U(x).

Вкачестве следствия, как и выше, вытекает

Теорема 3. Пусть потенциал U(x), U : n → , является положительно определенной функцией в некоторой окрестности точки x0 и дважды непрерывно дифференцируемой в этой окрестности. Пусть его первый дифференциал dU(x0, h) = 0. Если второй дифференциал d2U(x0, h) является положительно определенной квадратичной формой, то положение pавновесия (x0, 0) ДС устойчиво по Ляпунову.

Действительно, в условиях теоремы потенциальная функция z = U(x) имеет в точке x0 строгий локальный минимум. Здесь прикладники любят говорить о «потенциальной яме» в точке x0.

Обобщая pезультат теоремы 2, остановимся на вопросе о неустойчивости. Для понимания следующих ниже pассуждений читателю, забывшему линейную алгебру, pекомендуем основательно освежить свои знания; если же читатель вовсе не знаком с линейной алгеброй, то он может эти рассуждения пропустить.

Без ограничения общности будем считать, что x0 = 0. Пусть U(0) = 0, U (0) = 0. Воспользуемся второй формулой Тейлора и соответствующую исходной ДС линеаризованную ДС в окрестности точки (0, 0) запишем в виде

126 Гл. IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости

где B = −U (0) — симметрическая матрица из вторых частных производных функции U(x) в точке x = 0. ФСР линеаризованой ДС будем

искать в виде x = ueλt, y = veλt. Подставляя в ДС, получаем λu = v, λv = Bu, откуда, исключая v, имеем Bu = λ2u. Пусть матрица B положительна, т. е. (Bx, x) > 0 при x = 0. Тогда все ее собственные значения положительны, а из собственных векторов матрицы B (вследствие ее симметричности) можно построить базис в n. Таким образом, матрица линеаризованной ДС имеет n положительных и n отрицательных собственных значений. Из теоремы о неустойчивости по линейному приближению вытекает справедливость следующего факта.

Теорема 4. Пусть U(0) = 0, U (0) = 0, а матрица U (0) отрицательная. Тогда положение pавновесия (0, 0) нелинейной ДС неустойчиво по Ляпунову.

Замечание 2. У соответствующей линеаризованной ДС (0, 0) является центром. Наличие нелинейных добавок высшего порядка малости привело к изменению типа положения pавновесия (ср. пример из §5).

Упражнение. Покажите, что pешение задачи Коши с начальными данными x0, y0 следующей ДС:

этой ДС положение pавновесия (0, 0) неустойчиво по Ляпунову.

За ме ч а ние 3. В связи с теоремой об устойчивости по линейному приближению полезно отметить (без доказательства) следующий факт.

сти отличны от нуля. Тогда в некоторой достаточно малой окрестности положения pавновесия a геометрическая (топологическая) структура траекторий нелинейной ДС будет той же, что у линеаризованной ДС. Здесь принято говорить о структурной устойчивости векторного поля ДС в этой окрестности.

В примере 2 и упражнении, pассмотренных в §7, структурная устойчивость отсутствует. Здесь собственные значения чисто мнимые, и малое (линейное или нелинейное) возмущение может привести, как мы видели, к принципиально иной геометрической структуре траекторий вблизи точки (0, 0). Подробнее о структурной устойчивости см. в Дополнении I.

§ 9. Доказательства теорем Ляпунова

Перейдем к доказательству теорем Ляпунова из §7. В дальнейшем будем считать, что ДС имеет своим положением pавновесия точку x = 0, поскольку общий случай сводится к этому с помощью замены x = a + z.

является замкнутым ограниченным множеством в , а V(x) непрерывна на ней, то V(x) достигает на ней своего наименьшего значения

mε = min V(x).

||x||=ε

2) Функция V(x) непрерывна в точке x = 0, и V(0) = 0. Следовательно, по числу mε можно указать такое δ, что для любых x, удовлетворяющих неравенству ||x|| < δ, выполняется неравенство V(x) < mε.

3) Покажем, что указанное δ является искомым. А именно, если |x0| ≤ δ, то pешение будет определено на всей полуоси [0, +∞) и при этом будет выполняться неравенство ||x(t, x0) − a|| < ε.

Действительно, пусть |x0| < δ. По теореме Коши решение x = x(t, x0) ДС определено на некотором полуинтервале [0, t1). Рассмотрим на этом полуинтервале вспомогательную функцию ϕ(t) = V(x(t, x0)). Поскольку V˙ (x) ≤ 0 в S, имеем неравенство ϕ˙ (t) ≤ 0, t [0, t1). Следовательно, функция ϕ(t) = V(x(t, x0)) убывает на этом интервале. Но тогда выполняется неравенство V(x(t, x0)) ≤ V(x0) < mε. Отсюда следует, что x(t, x0) лежит внутри сферы σε при всех t: 0 ≤ t ≤ t1. Действительно, если бы |x(t, x0)| = ε, то в соответствии с 1) выполнялось бы неравенство V(x(t, x0)) ≥ mε, что невозможно.

4) Итак, часть траектории, начинающаяся в x0 и кончающаяся в точке x(t1), лежит внутри сферы σε. Но тогда, продолжая эту часть трактории вправо по t, получим (подробнее см. в гл. VI, §5), что вся полутраектория x(t), t ≥ 0, лежит в той же сфере. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Продолжим pассуждения доказательства теоремы 1. По ε > 0 найдено δ > 0, такое, что кусок трактории x(t, x0), t ≥ 0, лежит внутри сферы σε, если ||x0|| < δ. Покажем, что

x(t, x0) → 0, если t → +∞.

В ходе доказательства теоремы 1 установлено, что функция ω(t) = V(x(t, x0)) убывает. Но она ограничена снизу нулем, и, значит, ω(t) → A ≥ 0 при t → +∞.

Покажем, что предположение A > 0 приводит к противоречию.

В этом случае найдется α (0, ε), такое, что ||x(t, x0)|| ≥ α для всех t ≥ 0 (в противном случае нашлась бы последовательность tk, такая, что V(x(t, x0)) → 0, но это невозможно, ибо V(0) = 0).

В кольце α < ||x|| < ε функция V(x(t˙, x0)) строго отрицательна, т. е.

найдется k > 0, такое, что V(x(t˙, x0)) < k для всех t ≥ 0. Интегрируя это неравенство, получаем, что V(x(t, x0)) ≤ V(x0) − kt < 0 для всех t ≥ 0. Это противоречит предположению, что V(x(t, x0)) ≥ A > 0.

Итак, A = 0, и теорема доказана.

128Гл. IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости

§10. Теорема Четаева о неустойчивости

Рассмотрим теперь теорему Н. Г. Четаева о неустойчивости по Ляпунову положения равновесия динамической системы.

Определение. Пусть функция V(x) непрерывно дифференцируема в окрестности S положения равновесия x = a ДС (1), и пусть существует область G S, для которой точка a является граничной. Функция U(x) называется функцией Четаева ДС (1), если V(x) > 0, V˙ (x) > 0 в G.

Заметим, что возможны два случая: 1) G содержит выколотую окрестность точки a; 2) G имеет часть границы Γ S, не сводящуюся к точке a, на которой V(x) = 0.

Теорема. Если в окрестности положения равновесия ДС существует функция Четаева, то это положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что a = 0.

Теорема будет доказана, если будет установлено, что существует

начинающаяся сколь угодно близко к положению равновесия x = 0, но выходящая при некотором t0 из шара ||x|| ≤ ε0. Мы воспользовались отрицанием определения устойчивости по Ляпунову положения равновесия x = 0 (продумайте построение отрицания для данной ситуации!).

Итак, рассмотрим траекторию x = x(t, x0) с таким x0 G, что

то θ(t) строго возрастает на [0, t1) и, следовательно, V(x(t, x0)) > V(x0)

при t (0, t1).

Отсюда следует, что pассматриваемая траектория не может подойти сколь угодно близко к части границы Γ, на которой V(x) = 0.

Заметим теперь, что в замкнутой ограниченной области H = {x G: V(x) ≥ V(x0)} функция V˙ (x) ограничена снизу положительным числом: V˙ (x) ≥ α > 0.

Зафиксируем ε0 > 0, настолько малое, что сфера ||x|| = ε0 пересекает область G. В шаре ||x|| ≤ ε0 функция V(x) (как непрерывная функция) ограничена. Допустим, что траектория при всех t ≥ 0 не

выходит из этого шара. Интегрируя неравенство V˙ (t, x0) > 0, полу-

чаем V(x(t, x0)) = V(x0) + 0t V˙ (s, x0)ds ≥ V(x0) + αt. Это невозможно вследствие ограниченности V(x). Следовательно, существует t0 > 0,

такое, что ||x(t0, x0)|| > ε0. Теорема полностью доказана.

130 Гл. IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости

физическая интерпретация: колебания центра тяжести подвешенного твердого тела под действием силы тяжести.

Любопытно отметить, что подобное ДУ возникает во многих прикладных задачах теории нелинейных колебаний. В частности, оно является асимптотическим уравнением движения электрона в элементарной теории лазера на свободных электронах (см. [33]). Полагая ϕ = x,

ddtϕ = y, сведем ДУ к системе ДУ первого порядка

x˙ = y,

y˙ = −ay − b sin x.

Имеем два существенных положения pавновесия: точку (0, 0) и точку (π, 0). Другие положения pавновесия pоли не играют. Вследствие 2π-периодичности функции sin x естественно считать, что x [−π, π] и отождествить точку x = −π с точкой x = π (cм. Дополнение I).

Вблизи положения pавновесия (0, 0), поскольку sin x = x + o(x), x → 0, имеем линеаризованную систему ДУ

x˙ = y,

y˙ = −ay − bx.

Пусть сначала a > 0, т. е. наличествует трение. Характеристическое уравнение λ2 + aλ + b = 0 имеет при a2 > 4b два различных отрицательных корня, совпадающие при a2 = 4b. Если же a2 < 4b и a > 0, то характеристическое уравнение имеет два комплексных корня с отрицательной вещественной частью (проверьте!).

Таким образом, при наличии трения положение равновесия (0, 0) асимптотически устойчиво.

Пусть a = 0, т. е. трение отсутствует. Здесь характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. Поэтому мы не можем воспользоваться теоремой об устойчивости по линейному приближению. Однако здесь удается найти функцию Ляпунова.

Рассмотрим нелинейную ДС x˙ = y, y˙ = −b sin x. Умножим второе ДУ на y и, воспользовавшись первым ДУ, получим yy˙ = −b sin xx˙ ,

откуда 21 y2 + b(1 − cos x) = const.

Значит, U(x, y) = 21 y2 + b(1 − cos x) является первым интегралом

ДС. Физический смысл: U(x, y) — это полная энергия маятника в отсутствии трения.

Упражнение. Докажите положительную определенность U в некоторой достаточно малой окрестности точки (0, 0).

По следствию из теоремы 1, §8 U(x, y) является функцией Ляпунова и по теореме Ляпунова в случае a = 0 положение равновесия (0,0) устойчиво по Ляпунову.