[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

За м еч ани е 2. Если собственное значение λ0 комплексное, то на этом же пути паре взаимно сопряженных k-кратных комплексных корней будет соответствовать pовно 2k линейно независимых вещественных решений системы ДУ.

§ 7. Фундаментальная матрица и ее свойства

Пусть задача Коши для системы ДУ x˙ = f(t, x) с начальным условием x(t0) = x0 в условиях теоремы Коши имеет на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) pешение x = x(t, x0).

Заметим, что для любых t, s, t + s (a, b) справедливо следующее групповое свойство:

x(s + t, x0) = x(t, x(s, x0) = x(t, x(s, x0)).

Действительно, продвинуться по интегральной кривой от начальной точки x0 до точки x(s + t, x0) можно также, продвинувшись сначала до точки x(s, x0), а затем до точки x(s + t, x0), либо двигаясь сначала

до x(t, x0), а затем до x(s + t, x0).

Это групповое свойство, использующее единственность интегральной кривой, начинающейся в точке x0, особенно полезно в линейном случае.

Пусть система вектор-функций {zk(t)}, k = 1, 2, . . . , n, является нормальной фундаментальной системой решений линейно однородной системы ДУ (4).

Заметим, что теперь формулу (7) можно записать в матричном виде. Пусть

zk = (z1k(t), z2k(t), . . . , znk(t))T, k = 1, 2, . . . , n.

Образуем матрицу, столбцами которой являются столбцы координат этих базисных векторов:

Эта матрица называется нормальной фундаментальной матрицей однородной системы ДУ. Как это принято в научной литературе, матрицу U(t) будем называть также матрицантом, или матрицей Коши.

Пусть задано начальное значение z(t0) = z0 = (z10, z20, . . . , zn0)T. Тогда pешение задачи Коши равно

Матрицант U(t) введен нами с помощью нормальной ФСР. Пусть {zk(t)}, k = 1, 2, . . . , n, — произвольная ФСР, а W(t) — соответствующая ей фундаментальная матрица. Пользуясь теоремой Коши,

92 Гл. III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

можно показать, что общее pешение системы ДУ (4) представимо формулой (7), или в матричном виде z(t) = W(t)C, где C — столбец произвольных постоянных.

Упражнение 1. Докажите, что U(t) = W(t)W−1(t0).

Следующая теорема перечисляет свойства фундаментальной матрицы. Теорема. Матрица U(t) обладает следующими свойствами:

1)U(t0) = E;

2)dU(t) = A(t)U(t) для любых t (a, b); dt

3)U(s + t) = U(s)U(t) = U(t)U(s) для любых s, t, s + t (a, b).

Доказательство. Свойство 1) следует из равенства x(t0) = U(t0)x0 = x0 = Ex0,

справедливого для любых x0. Свойство 2) вытекает из тождества

dtd U(t)x0 = x˙ (t) = A(t)x(t) = A(t)U(t)x0,

справедливого для любых x0 и любых t (a, b). Наконец, свойство 3) — это частный случай отмеченного выше группового свойства.

З а м е ч а н и е. Если матрица A — постоянная, то пусть далее t0 = 0. Свойства 1)–3) теперь выглядят так:

1)U(0) = E;

2)dU(t) = AU(t) для любых t ; dt

3)U(s + t) = U(s)U(t) = U(t)U(s) для любых s, t .

В случае n = 1, A эти свойства полностью определяют функ- цию-экспоненту eAt. По аналогии определим матричную функцию-экс- поненту, полагая exp(At) = U(t).

Эту матричную функцию можно определить также с помощью матричного степенного ряда. Чтобы это показать, pешение задачи Коши

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, последовательно находим:

и, следовательно,

∞ k k

x(t) = A t x0. k!

k=0

Таким образом, матрицант (нормальная фундаментальная матрица) U(t) может быть представлен в виде матричного степенного ряда

Можно доказать сходимость данного ряда в n.

С учетом замечания из §3 можно в случае диагонализуемости мат-

рицы A вычислить экспоненту eAt, используя матрицу перехода C по формуле eAt = CeΛtC−1.

Отметим, что в случае диагонализуемости матрицы

AeΛt = diag{eλ1t, eλ2t, . . . , eλnt}.

В общем случае базиса из собственных и присоединенных векторов на этом пути также удается вычислить экспоненту eAt.

Упражнение 2. Вычислите eAt, если A — двумерная жорданова клетка.

Решение задачи Коши

через матрицант U(t) = eAt записывается в виде x(t) = U(t)c. В условиях теоремы §6 это pешение можно дать и в другой форме. Разложим начальное значение по жорданову базису

m ps

c = crswrs. s=1 r=1

Тогда pешение задачи Коши дается формулой

m ps

x(t) = crsϕrs(t).

s=1 r=1

Действительно, эта вектор-функция является решением системы ДУ и удовлетворяет начальному условию. Сравнение этих двух представлений решения позволяет получить полезную оценку нормы матрицанта.

Л е м м а. Для любого α > Re λk найдется Mα > 0, такое,

что на полуоси [0, +∞) имеет место оценка ||U(t)|| ≤ Mαeαt.

Доказательство. Зададим норму в следующим образом: если

94 Гл. III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Но тогда имеем оценку

Заметим, что ϕrs(t) = eλstQrs(t), где Qrs — векторные многочлены степени r − 1 (см. определение вектор-функций ϕrs(t) в формулировке теоремы §7).

Зафиксируем α > max Re λk и представим ϕrs(t) в виде

1≤k≤m

ϕrs(t) = eαte(λs−α)tQrs(t).

Но e(λs−α)t||Qrs(t)|| → 0 при t → +∞.

Следовательно e(λs−α)t||Qrs(t)|| ≤ const · 0 на [0, +∞) с постоянной, зависящей от s, r, α.

Мы воспользовались следующим элементарным соображением. Пусть β < 0, а p(t) — многочлен. Тогда функция f(t) = eβt p(t) ограничена на полуоси [0, +∞).

Упражнение 3. Пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что f(t) → +∞. Отсюда следует существование T > 0, такого, что |f(t)| ≤ 1 на [T, +∞). Наконец, f(t) как непрерывная функция ограничена на [0, T].

Таким образом, имеем оценки ||ϕrs(t)|| ≤ const eαt, откуда и следует утверждение теоремы.

§ 8. Системы неоднородных линейных ДУ. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Рассмотрим систему ДУ (3) x˙ = A(t)x + h(t) в предположении непрерывности элементов матрицы A(t) и правой части h(t) на интервале (a, b).

Приведем кратко основные сведения о таких системах.

1) Пусть zk(t), k = 1, 2, . . . , n, — базис в пространстве N решений соответствующей однородной системы ДУ, а W(t) — матрица, столбцами которой являются векторы этого базиса.

Общее pешение системы записывается формулой x(t) = W(t)C + x0(t),

где C — столбец произвольных постоянных Ck, k = 1, 2, . . . , n, а x0(t) — некоторое pешение неоднородной системы ДУ (3) (иными словами, ее частное pешение).

2) При решении задач часто бывает полезным следующий принцип суперпозиции.

Л е м м а. Пусть правая часть системы ДУ (3) равна h(t) = = α1h1(t) + α2h2(t). Тогда частное pешение этой системы равно

x(t) = α1x1(t) + α2x2(t), где x1(t), x2(t) — частные решения систем ДУ x˙ = A(t)x + h1(t) и x˙ = A(t)x + h2(t) соответственно.

3)Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных состоит

вследующем. Pешение неоднородной системы ДУ ищется в виде

x(t) = W(t)C(t).

Для определения производных варьируемого столбца «постоянных» C˙ (t) возникает алгебраическая система n уравнений с n неизвестными

W(t)C˙ (t) = h(t),

Определитель этой системы W(t) = 0, что следует из линейной независимости системы вектор-функций zk(t), k = 1, 2, . . . , n, на (a, b).

Поскольку матрица W(t) обратима, то для любого s (a, b) имеем

t

C˙ (s) = W−1(s)h(s), откуда C(t) = W−1(s)h(s) ds + C, где C — столбец

t0

произвольных постоянных.

Таким образом, общее pешение линейной системы ДУ можно записать в виде

t

x(t) = W(t)C + W(t)W−1(s)h(s) ds.

t0

В частности, можно принять W(t) = U(t), где U(t) — матрицант (или матрица Коши, т. е. фундаментальная матрица, построенная по нор-

Упражнение. Проверьте эту формулу, используя теорему о дифференцировании интеграла по верхнему пределу.

5) В частном случае, когда матрица A постоянна и диагонализуема, может быть явно выписано pешение задачи Коши системы ДУ с на-

чальным условием x(t0) = x0.

Теорема. Пусть матрица A диагонализуема, λ1, λ2, . . . , λn — ее собственные значения, а v1, v2, . . . , vn — соответствующие им собственные векторы. Разложим правую часть h(t) по базису из собственных векторов:

n

h(t) = hk(t)vk.

k=1

Тогда pешение системы ДУ c начальным условием x(t0) = 0 равно

Второе слагаемое в формуле (12) — это частное pешение данной неоднородной системы ДУ из (11). Оно будет решением изучаемой краевой задачи тогда и только тогда, когда оно является 2π-периодической функцией.

Поскольку U(2π) = E, то для разрешимости исходной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы

2π

UT(s)F(s) ds = 0,

0

или в стандартном базисе (проверьте!)

Подведем предварительные итоги.

1)Однородная краевая задача, соответствующая (11), имеет двумерное подпространство решений.

2)Неоднородная задача неразрешима, т. е. не имеет решений, если условия (13) не выполняются. Если же условия разрешимости (13) выполняются, то задача (11) имеет семейство решений, зависящее от двух произвольных параметров и выражаемое формулой (12) с произ-

вольными постоянными x0 и y0.

Условиям разрешимости можно придать иную форму.

Л е м м а. Пусть f(t) и g(t) непрерывно дифференцируемы. Для существования 2π-периодического решения задачи (11) необходимо

и достаточно, чтобы в разложении Фурье функции f˙(t) − g(t) (или функции f(t) + g˙ (t)) отсутствовали члены, содержащие cos t либо sin t.

Доказательство леммы предоставляем читателю.

Указание. Воспользуйтесь формулой интегрирования по частям. Напримеp,

00

откуда и из первого условия разрешимости видно, что функция f˙(t)−g(t) ортогональна функции cos x на [0, 2π].

В заключение рассмотрим задачу о периодических решениях в комплексной форме. Общее pешение линейного однородного ДУ z˙ − iz = 0 дается формулой z = Ceit с произвольной комплексной константой C. Оно является 2π-периодической функцией. Рассмотрим неоднородное

+∞

h(0) = h(2π) = 0. Разложим h(t) в комплексный ряд Фурье h(t) = ckeik.

k=−∞

7 В.А. Треногин

98Гл. III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Упражнение 4. Покажите, что частное pешение неоднородного ДУ дается формулой

+∞ ik

z = cke + c1eit. i(k − 1)

k=−∞ k=1

Отсюда вытекает следующий критерий: для существования 2π-пе- риодического решения неоднородного ДУ необходимо и достаточно выполнения условия

2π

c1 = 1 h(t)eit dt = 0.

2π

0

Это условие равносильно тому, что в разложении правой части h(t) в ряд Фурье отсутствует член с eit.

Глава IV

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ

§ 1. Динамическая система ДУ, фазовое пространство, траектории

Излагаемые ниже вопросы относятся к так называемой качественной, или геометрической теории ДУ, восходящей к А. Пуанкаре и А.М. Ляпунову. Эта теория возникла в конце XIX в. в связи с фундаментальными вопросами небесной механики, такими, как вопросы эволюции и устойчивости солнечной системы. Качественная теория ДУ часто позволяет, не pешая ДУ, установить многие важные свойства pешений и, что особенно важно, изучить качественно их глобальное поведение, т. е. поведение на больших промежутках времени. Важнейшее место занимает в ней теория устойчивости, pазработанная А. М. Ляпуновым.

Рассмотрим частный случай нормальной системы ДУ, когда ее пра-

вые части — функции fk(t, x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n, — не зависят от независимой переменной t, т. е. система ДУ, записанная в векторной

форме, имеет вид

Такую систему ДУ будем называть динамической системой (далее для краткости ДС). В учебной и научной литературе динамические системы часто называют также автономными системами ДУ.

Всюду далее предполагается без специальных оговорок, что функции fk(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n, непрерывно дифференцируемы в области D n (кратко f(x) C1(D)).

Таким образом, в цилиндрической области G= {(t, x): t , x D}. к ДС (1) можно применить теорему Коши. Согласно этой теореме для любой точки (t0, x0) G найдется интервал (α, β), на котором существует единственное решение x = x(t) ДС, удовлетворяющее начальному условию x(t0) = x0. Это локальное решение можно продолжить вплоть до границы области G, если эта область ограничена. Если же область неограничена, то возможны явления типа взрывов. Всюду в дальнейшем, говоря о решении ДС, будем считать его непродолжимым, т. е. определенным на максимальном интервале его существования.

7*

100 Гл. IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости

Графики интегральных кривых ДС расположены в области G. Дадим теперь принципиально другую — кинематическую — интер-

претацию ДС. Переменная t будет далее играть роль времени. Область D n переменных x, в которой задана правая часть f(x) ДС, будем называть фазовым пространством ДС.

Дифференциальные уравнения, составляющие ДС, будем трактовать как законы движения материальной точки с координатами x в фазовом пространстве D, когда заданы правила изменения вектора скорости x˙ как вектоp-функции, зависящей только от координат точки x. Таким образом, каждое pешение ДС x = x(t), t (α, β), будем интерпретировать как конкретное движение материальной точки в фазовом пространстве D. Запись x = x(t) будет означать, что геометрически данное движение представляется лежащей в D параметрически заданной гладкой ориентируемой кривой L: x = x(t), t (α, β).

Всякую такую кривую L будем называть траекторией (фазовой траекторией) динамической системы. В приложениях наряду с термином «траектория» широко используется также термин «орбита».

Замечание 1. Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости следующего утверждения. Пусть x = x(t) — pешение ДС на интервале (α, β). Тогда для любого c функция x = x(t + c) также является pешением ДС, но на интервале (α − c, β − c). При этом все эти функции представляют одну и ту же траекторию.

Поясним для наглядности связь между интегральными кривыми и траекториями в случае, когда n = 2. Пусть в пространстве 3 задана декартова прямоугольная система координат {O, x1, x2, t}. Изобразим лежащую в 3 интегральную кривую l динамической системы. Соответствующая ей траектория L — это ортогональная проекция интегральной кривой динамической системы на фазовую плоскость 2 переменных x1, x2. При этом все интегральные кривые, получающиеся друг из друга переносом по t, соответствуют одной и той же траектории, на которую они проектируются.

Полезно иметь и такую наглядную интерпретацию: траектория есть след движущейся точки (частицы), оставляемый ею в фазовом пространстве. Наблюдать траекторию в 3 приходилось каждому: это, напримеp, туманный (дымный) след пролетевшего в небе самолета. Тот же след мог быть оставлен и другим самолетом, пролетевшим по тому же маршруту в другое время.

Фазовой картиной (фазовым портретом) ДС будем называть совокупность траекторий в фазовом пространстве.

Конечно, знание фазовых траекторий дает меньше информации, чем знание интегральных кривых, однако фазовые картины часто оказываются очень полезными, особенно при n = 2 (метод фазовой плоскости), а иногда и при n = 3. При n > 3 теряется наглядность, но и здесь иногда могут оказаться полезными геометрические (топологические) соображения.