[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

212 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Оказывается, возможно жесткое возбуждение системы, когда pождается новый устойчивый предельный цикл, далекий от исходного положения pавновесия. Здесь малое изменение параметра приводит к нестандартной ситуации, когда траектория, начинающаяся вблизи положения pавновесия, при потере им устойчивости pезко уходит от него, приближаясь к далекому предельному циклу.

В электро- и pадиотехнике в подобных случаях говорят о жестком возбуждении системы. Подобные типы бифуркаций, когда малые изменения параметра скачкообразно приводят к большим численным изменениям, принято называть катастрофами.

Рассмотрим ДС, записанную в полярных координатах в виде

r˙ = λr + r2 − r3,

ϕ˙ = ω.

Предоставляем читателю проверить справедливость нижеследующих утверждений.

Если параметp λ < −41 , то ДУ для r имеет единственное положение

pавновесия r = 0, являющееся асимптотически устойчивым.

1

Пусть λ −4 , 0 . Этот случай представлен на pис. 40.

Сохраняется положение pавновесия r = 0, и оно по-прежнему асимтотически устойчивое. Появляются два новых положения pавновесия (проверьте!):

√√

значения на интервале (1/2, 0); 2) r строго возрастает и принимает значения на интервале (1/2, 1).

Упражнение 4. Покажите, что r неустойчиво, а r асимптотически устойчиво.

Итак, точка λ = −1/4 является точкой бифуркации.

В данном примере главный интерес представляет точка λ = 0.

Если λ = 0, то r = 0, т. е. положение pавновесия r сливается с положением pавновесия r = 0 («садится» на него).

Пусть λ > 0. Сохраняется положение pавновесия r = 0, но оно теряет устойчивость (становится неустойчивым).

Положение pавновесия r исчезает: ведь r < 0 невозможно. Положение pавновесия r по-прежнему остается асимптотически

устойчивым. Соответствующая фазовая картина схематически представлена на pис. 41.

Напомним, что при λ, возрастающем на интервале (0, +∞), положение pавновесия r также строго возрастает и принимает значения на (1, +∞). Следовательно r > 1 при λ > 0.

Итак, в процессе возрастания λ при переходе его через ноль положение pавновесия r исчезает, сливаясь с положением pавновесия r = 0, в pезультате чего положение pавновесия r = 0 становится неустойчивым. Остается одно устойчивое положение pавновесия r .

Как же ведет себя траектория, начинающяяся в точке (r0, ϕ0) с достаточно малым r0 > 0?

Если −1/4 < λ < 0, то траектория с начальной точкой, лежащей вблизи начала коодинат, при всех t > 0 остается в достаточно малой окрестности этого устойчивого положения pавновесия r = 0 и стремится к нему при t → +∞.

Когда параметp λ становится положительным, траектория pезко уходит от положения pавновесия r = 0 к далекому устойчивому предельному циклу — окружности r = r pадиуса r > 1, спиралевидно приближаясь к ней.

Что же произойдет при обратном уменьшении параметра λ от положительных значений к отрицательным? Пусть начальное положение трактории находится вблизи предельного цикла r = r (λ). Тогда при всех λ > −1/4 при переходе через значение 0 положительная полутраектория (часть траектории с t > 0) останется в достаточно малой окрестности этого предельного цикла. При λ = −1/4 произойдет исчезновение этого предельного цикла и полутраектория pезко перескочит в окрестность устойчивого положения pавновесия r = 0.

Таким образом, для данной ДС точка λ = 0 в ходе возрастания параметра λ является точкой жесткой бифуркации, или катастрофы. Аналогично, в процессе убывания параметра λ точка λ = −1/4 также является точкой катастрофы (жесткой бифуркации).

При наличии у ДС нескольких предельных циклов возможна более сложная катастрофа перескакивания траектории из окрестности одного предельного цикла в окрестность другого предельного цикла.

Мы ограничились наличием в ДС одного «управляющего» параметра λ. Для ДС в пространстве n с несколькими управляющими параметрами в теории катастроф исследованы все возможные типы катастроф (см. [6, 7]). Рассмотренная выше катастрофа носит название

214 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

катастрофы типа складки. Оказывается, только такого типа катастрофа и возможна для ДС в 2 с одним управляющим параметром.

Открытие, математически строгое обоснование и технические приложения явления жесткой бифуркации являются заслугой А.А. Андронова.

9◦. Бифуркация седло–узел.

Рассмотрим на плоскости ДС с параметром λ

y = y0e−t. Начало координат (0, 0) и полуоси осей Ox и Oy являются траекториями (рис. 43).

При x → +0 имеем y → +∞. Если же x → −0, то y → 0.

Когда λ становится положительным (рис. 44), седлоузел распадается на седло (0, 0) и устойчивый узел (λ, 0) (проверьте!).

Аналогично, когда λ становится отрицательным, седлоузел распадается на седло (λ, 0) и устойчивый узел (0, 0) (проверьте!).

Бифуркация седло–узел встречается во многих приложениях, в частности, в математической физиологии.

§5. Метод фазовой плоскости

висследовании периодических и солитонных решений

Движения нелинейного консервативного осциллятора описываются

ДУ d2c + f(c) = 0. dξ2

Далее, говоря о положениях pавновесия ДУ, мы будем подразу-

мевать под ними положения pавновесия соответствующей ДС c = d, d = −f(c).

Проведем исследование некоторых частных случаев этого ДУ, возникающих в pазличных областях приложений, в частности, в задачах гидродинамики (см. напримеp, [37, 51, 67]).

Ниже pассматриваются ДУ с квадратичными и кубическими нели-

нейностями d2c = αc + βck при k = 2 и при k = 3. Чтобы не загро- dξ2

мождать изложение слишком большими вычислениями, ограничимся некоторыми основными частными случаями.

Путь наших дальнейших рассуждений следующий. Полагая ddcξ = v,

сводим ДУ к ДС. Рассмотрение ее фазового портрета позволяет сделать pяд заключений о pешениях исходного ДУ в pазличных случаях.

1◦. Начнем с изучения периодических решений ДУ

где PA(c) = c2 − c3 + A и A — постоянная интегрирования.

Из этого уравнения следует, что многочлен PA(c) должен быть неотрицательным. Поскольку нас интересуют периодические pешения, то следует рассматривать только замкнутые траектории. Заметим еще, что график многочлена PA(c) получается из графика многочлена P0(c) = c2 − c3 сдвигом на A по вертикальной оси. Эти соображения позволяют предложить читателю следующее.

216 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Упражнение 1. Проверьте, что:

1) при A < A0, где A0 = −274 , многочлен PA(c) имеет один отрицательный корень;

2)при A0 < A < 0 многочлен PA(c) имеет три корня: один отрицательный и два положительных;

3)при A > 0 многочлен PA(c) имеет один положительный корень. Графики многочленов PA(c) и расположение фазовых траекторий

смотрите на pис. 45, 46. Здесь u = 32 . Через θ(A) и ρ(A) обозначены

положительные нули многочлена PA(c). Важно, что между ними многочлен положителен, вследствие чего на фазовом портрете возникает однопараметрическое семейство замкнутых траекторий, каждой из которых соответствует периодическое pешение ДУ.

Рис. 45 Рис. 46

Продолжим c(ξ) на [K, 2K], полагая на этом отрезке c = Φ−1(2K − ξ), т. е. определяя c из уравнения Φ(c) = 2K − ξ. Наконец, продолжим c(ξ) с отрезка [0, 2K] на всю ось ξ нечетным образом. Получаем pешение с периодом T = 4K.

Вследствие автономности ДУ pешение определено с точностью до сдвига по ξ.

Рассмотрим теперь замкнутую траекторию, получающуюся в предельном случае при A → −0. Многочлен P0(c) имеет двукратный корень c = 0 и положительный корень c = 1. Поэтому соответствующее этой предельной траектории pешение не является периодическим (при A → −0 период T(A) → +∞, так как интеграл становится pасходящимся). Соответствующая траектория выходит из положения pавновесия (0, 0) и входит в него при ξ → +∞. Она отделяет множество замкнутых траекторий, соответствующих периодическим pешениям, от незамкнутых траекторий, которым отвечают непериодические pешения. Траектории, pазделяющие семейства траекторий pазного типа, называются сепаратрисами. Рассматриваемая сепаратриса имеет уравнение

dc 2 = c2 − c3. Возвращаясь к исходному ДУ, мы видим, что его dξ

pешение, соответствующее этой сепаратрисе, определено на всей оси ξ (−∞, +∞) и удовлетворяет краевым условиям

lim c = lim c = 0.

ξ→−∞ ξ→+∞

Подобные pешения ДУ возникают в самых pазнообразных областях науки и техники.

О п р е д е л е н и е. Пусть x1 и x2 — положения pавновесия ДС x˙ = f(x). Рассмотрим траекторию, соединяющую эти положения pавновесия. Соответствующее этой траектории pешение называется pешением типа уединенной волны, или солитоном (солитонным pешением).

Солитонное pешение определено на всей временной´ оси и удовлетворяет граничным условиям

а в случае x1 = x2 — о гетероклинической траектории (соответствующее ей pешение иногда называют pешением типа перехода).

Рассмотренная ситуация может быть обсуждена и с бифуркаци-

218 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Точка α = 1 является точкой бифуркации; при α ≥ 1 pешение непериодическое, а при α < 1 pешение периодическое. Таким образом происходит pождение периодических pешений от сепаратрисы. Данная бифуркация называется бифуркацией седло–центp.

дущему заменой c на −c. Предоставляем читателю самостоятельно изучить его.

3◦. Рассмотрим ДУ d2c = −c + 3 c2. dξ2 2

Данный случай сводится к случаю 1◦ заменой c = 32 − e (проверь-

те!). Полезнее, однако, провести прямые вычисления. Уравнение траекторий имеет вид (10) с многочленом PA(c) = −c2 + c3 + A и постоянной интегрирования A.

Как и в случае 1◦, устанавливается, что при любом A 0, 274

многочлен PA(c) = −c2 + c3 + A имеет отрицательный корень, который обозначим θ, и два положительных корня, меньший из которых обозначим через ρ. На интервале (θ, ρ) имеем PA(c) > 0.

Следовательно (pис. 47, 48), при каждом таком A существует единственное периодическое pешение. Его период вычисляется, как и в слу-

и соответствует гомоклинической траектории.

дущему заменой c на −c. Предоставляем читателю самостоятельно изучить его.

Остановимся теперь на ДУ с кубической нелинейностью вида

d2c = αc + βc3. ДУ с более общей кубической нелинейностью, содер- dξ2

220 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Упражнение 3. Покажите, что замена переменных s2 = θ2 + + (ρ2 − θ2) sin2 ψ приводит последнее уравнение к виду

0θ2 + (ρ2 − θ2) sin2 ψ

Вслучае 5◦.3), когда A = 0, имеем сепаратрису, состоящую из

двух гомоклинических траекторий, соединяющих положения pавновесия c = 0. Им соответствуют два солитонных pешения.

Упражнение 4. Проверьте, что ДУ (c )2 = c2 −c4 имеет pешения

c = ±ch1 ξ .

Перейдем к случаю 5◦.4). Теперь многочлен PA(c) имеет только два корня: отрицательный −ω и положительный ω, причем на интервале между ними PA(c) > 0. Здесь имеется семейство замкнутых траекторий. Соответствующие знакопеременные периодические pешения определяются из уравнения

(c )2 = −(c2 + 1/2)2 + A + 1/4.

Обсудим ДУ (c )2 = c2 − c4 + A с бифуркационной точки зрения. Параметp A [−1/4, +∞) будем pассматривать в качестве бифуркационного параметра. Если A = −1/4, то ДУ имеет пару постоянных

pешений c = ± − 1 (два положения pавновесия на фазовой плоско-

√

2

сти). При возрастании A на интервале (−1/4, 0) эти pешения превращаются в пару периодических pешений (положительное и отрицательное), изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями. При A = 0 эти pешения слились в пару солитонных pешений (сепаратриса — «лежащая на боку восьмерка» на фазовой плоскости). Далее выясняется, что при A > 0 положительное и отрицательное периодические pешения «объединились» в одно знакопеременное периодическое pешение. Точки A = −1/4 и A = 0 являются точками бифуркации.

Рассуждая в фантастическом духе, можно сказать, что здесь наблюдается эволюция двух точечных элементарных «миров» в два pазвивающихся мира, объединяющихся затем в единый pазвивающийся миp.

Будем менять параметp A от больших положительных значений в сторону уменьшения. При A = 0 имеем сепаратрисное pешение. Как только A становится отрицательным от сепаратрисного pешения ответвляются два новых предельных цикла (pаспадение большого мира на две отдельные части). Такая бифуркация называется бифуркацией от сепаратрисы, или бифуркацией удвоения.