[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Д о п о л н е н и е I

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вданном Дополнении собраны некоторые приложения ДУ, практически не представленные в отечественной учебной литературе, но лежащие довольно близко к современным научным и техническим интересам. Для ориентации в предлагаемом материале мы считаем полезным предварить его кратким историческим обзором.

Восновном мы концентрируем внимание читателя на задачах, связанных с колебательными процессами. С годами выяснились широчайшая распространенность таких процессов, особая роль бифуркационных явлений, в частности, таких их критических режимов, как, напримеp, автоколебания и солитоны.

Перечислим некоторые из приложений обыкновенных ДУ. Начнем

сшироко известных в классической науке колебательных процессов при движении планет Солнечной системы, колебаний упругих тел (стержней, балок, пластин, оболочек), машин, механизмов, технических сооружений (мостов, вращающихся валов, турбинных дис-

ков и т. п.). Сюда относятся также нелинейные волны в жидкостях

ив газах, колебания в электрических цепях. Сравнительно недавно подверглись серьезному научному изучению автоколебания в технических конструкциях, флаттер крыла самолета или, более широко, самолетных конструкций и деталей космических и ракетных двигателей, колебательные процессы в плазме, в частности, в ядерных установках, колебательные процессы в в нелинейной оптике и акустике, включая нелинейные волны в эластических кристаллах и волны, возникающие в ходе работы лазеров, волновые процессы в экологии

ив биологии, осцилляции в химической кинетике, напримеp, описываемые периодической химической реакцией Белоусова–Жаботинского, биоэлектрические явления (передача нервных импульсов, работа мозга

исердца), колебательные процессы в атмосфере и в океане (тайфуны, смерчи, вихри, цунами), осцилляции в магнитном поле Земли и многие другие явления. Сюда относятся также многие проблемы экономики, социологии и даже истории.

192 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Рассмотрение математических моделей всех этих явлений на базе обыкновенных ДУ потребовало бы многих томов.

В данном Дополнении мы ограничиваемся беглым описанием лишь некоторых простейших математических моделей, методов их исследования и необходимых для этого теоретических сведений. Конечно, этот круг вопросов может быть глубже понят лишь в рамках теории ДУ с частными производными, но это мы надеемся осуществить в дальнейшем.

Сначала pассматриваются прикладные задачи, описываемые консервативными ДС. Здесь характерно наличие областей, заполненных замкнутыми траекториями. От других траекторий такие области отделены сепаратрисами — траекториями, разделяющими различные типы движений. Решениями, соответствующими сепаратрисам, являются pешения типа уединенных волн, называемые обычно солитонами. Увлекательное описание открытия солитонов и недавнего бурного развития их теории, связанного с лавиной важнейших приложений, читатель найдет в [33, 45].

Не менее интересны также крайне важные с точки зрения практики бифуркационные явления, описывающие различные критические ситуации.

В данном Дополнении pассмотрены также диссипативные (неконсервативные) ДС, для которых характерно наличие изолированных замкнутых траекторий (предельных циклов). Открытие предельных

ся именно соответствующие этим циклам устойчивые периодические движения.

Академик Петербургской АН Александр Михайлович Ляпунов разработал общую теорию устойчивости pешений ДУ. Кроме обсуждавшегося выше второго метода Ляпунова, чаще называемого методом функций Ляпунова, сюда входит как важная составная часть также первый метод Ляпунова, основанный на таких понятиях, как показатели Ляпунова, ляпуновские величины и теория Флоке. Относящийся сюда теоретический материал выходит далеко за pамки данной книги. С этим кругом вопросов, в частности, с исследованием устойчивости предельных циклов читатель может ознакомиться, напримеp, в [33, 57].

Со временем выяснилось, что среди многих открытых еще Пуанкаре бифуркаций решений ДС на плоскости особенно важное прикладное значение имеет динамическая бифуркация — бифуркация рождения предельного цикла.

Академик АН СССР Александр Александрович Андронов в статье Les cycles limites de Poincare´ et la theorie´ des oscillation autoentretenues, C. R. Acad. Sci. 189, 1929, дал строгое обоснование этого явления и предложил для него термин «автоколебание» (самовозбуждающееся колебание). В работах и книгах А. А. Андронова и его научной школы, объединяющей физиков, математиков и прикладников,

194 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

параметрами, теория катастроф, а также многие другие важные теории и прикладные задачи.

Ниже предлагается ряд фрагментов, позволяющих, как мы надеемся, судить о гораздо более современных приложениях, описываемых простейшими моделями нелинейных дифференциальных уравнений, чем это принято в более стандартных учебниках. Ограниченный объем книги не позволил включить в нее целый ряд бесспорно важных и интересных теоретических сведений и приложений. Как уже отмечалось в предисловии, было бы крайне полезно для каждой специальности, преподаваемой в вузе, иметь свой набор математических моделей.

§1. Закон всемирного тяготения, первый закон Кеплера

ивторая космическая скорость

Рассмотрим два тела массами M и m соответственно, и пусть m < M. Поместим тело с большей массой M в начало координат, считая его неподвижным. Для большей наглядности будем далее тело массы M считать Cолнцем, а тело массы m — конкретной планетой, движения которой обсуждаются. Будем пренебрегать взаимопритяжениями других планет и Cолнца, т. е. ограничимся, как в таких случаях принято говорить, задачей двух тел.

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона на планету дей-

между центрами тяжести планеты и Солнца, а γ — гравитационная постоянная. Данное силовое поле является потенциальным векторным

полем: F = grad γmMr .

Движение планеты относительно Солнца происходит в плоскости, называемой эклиптикой. Поместим начало координат в центp Солнца и зафиксируем в эклиптике декартову прямоугольную систему координат переменных x, y.

В соответствии со вторым законом Ньютона движение планеты определяется следующей системой двух ДУ второго порядка:

Эту систему ДУ будем исследовать в полярных координатах x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

Ниже будет установлено, что всякое ее pешение дается формулой

196 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Напомним, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной. Здесь постоянная выбрана так, чтобы выполнялось естественное условие: на бесконечности потенциальная энергия pавняется нулю.

Упражнение 1. Пользуясь системой уравнений движения Ньютона, покажите, что эта система ДУ консервативна, т. е. ее полная энергия K(t) + V(t) = E не зависит от t.

Этот факт является законом сохранения механической энергии движущейся планеты. Запишем его в полярных координатах.

Упражнение 2. Покажите, что в полярных координатах

x˙ = r˙ cos ϕ − r sin ϕϕ˙ , y˙ = r˙ sin ϕ + r cos ϕϕ˙ .

Проверьте, что закон сохранения энергии теперь принимает вид

Введем в рассмотрение функцию h(t) = mr2(t)ϕ˙ (t), которую принято называть угловым моментом. Оказывается, в рассматриваемом случае имеет место еще один закон сохранения: угловой момент является постоянной величиной, не зависящей от времени.

Для доказательства этого закона сохранения из pавенств упражнения 2 получим соотношение

rϕ˙ = −x˙ sin ϕ + y˙ cos ϕ.

Следовательно h(t) = m(−xy˙ + yx˙ ).

Продифференцируем это равенство и, используя уравнения движения (1), получим

h˙ (t) = m(−xy¨ + yx¨ ) = km(xy − yx) = 0.

(x2 + y2)3/2

Итак, доказано, что mr2ϕ˙ = h = const. Это обстоятельство дает возможность упростить выражение (3) для закона сохранения энергии.

Это обыкновенное нелинейное ДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной. Входящее в него нелинейное слагаемое не зависит явно от переменной t. Это позволяет сделать в ДУ замену

переменных, считая ϕ новой независимой переменной, а u = 1r новой неизвестной функцией.

Следовательно, закон сохранения энергии в новых переменных при-

Если pавен нулю второй множитель, то u, а значит, и r не зависят от ϕ. Это соответствует движению по окружности. Равенство нулю первого множителя приводит к линейному неоднородному ДУ

d2u + u = k . dϕ2 h2

Общее pешение этого ДУ равно

u = C cos ϕ + k . h2

Упражнение 4. Подставьте это выражение для u в (3) и найдите

√

отсюда, что C = 2mh2E + m2. Покажите, что так как u = 1/r, то от-

Поскольку для планет Солнечной системы наблюдается значение ϕ = π, а 1 + e cos ϕ > 0, то для них e < 1 и они движутся по эллиптическим орбитам.

Со вторым и третьим законами Кеплера читатель может познакомиться в [13].

Следуя [7], остановимся теперь на близком вопросе о запуске космического аппарата с поверхности Земли. Пусть масса аппарата постоянна и pавна m. Пренебрежем сопротивлением атмосферы Земли и будем считать, что движение осуществляется только под действием начальной скорости аппарата v0.

Обозначим через R радиус Земли, а начало координат пусть теперь находится в центре Земли. Уравнения движения аппарата имеют следующий вид:

198 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Энергию E определим из начальных условий. При t = 0 аппарат нахо-

дится на поверхности Земли, т. е. r = R, и пусть его начальная скорость pавна v0, откуда x˙ 2(0) + y˙ 2(0) = v20.

Таким образом, E = 21 mv20 − mgR. Следовательно, закон сохранения выглядит так

2

21 m(x˙ 2(t) + y˙ 2(t)) − mgRr = 21 mv20 − mgR.

Если начальная скорость аппарата достаточна, то он выйдет на эллиптическую орбиту вокруг Земли. Поставим вопрос: при какой начальной скорости v0 аппарат выйдет из поля притяжения Земли? Наименьшая из таких скоростей называется второй космической скоростью.

Если орбита не эллиптическая, то она параболическая или гиперболическая и при t → +∞ всегда r → +∞.

ность, масса аппарата задется функцией m = m(t), так как она уменьшается в полете за счет pасхода pеактивного топлива. Силы, создаваемые pеактивными двигателями также следует учесть в уравнениях движения (см. [7]). Кроме того, следует учитывать и сопротивление атмосферы Земли.

Некоторые бифуркационные явления при движении спутника по эллиптической орбите вокруг Земли описаны в [30].

§ 2. Pезонанс, pезонирующая частота в pадиотехнике, биения и почти периодические pешения

В дополнение к §6 из гл. IV pассмотрим важные в приложениях случаи линейного неоднородного ДУ колебаний. Сначала обсудим ДУ

Напомним, что ω называется частотой собственных колебаний, а α — частотой вынужденных колебаний. Таким образом, данное ДУ описывает взаимодействие собственных колебаний с вынужденными колебаниями под действием косинусоидальной внешней силы.

Пусть ω = α. В этом случае ДУ имеет следующее частное pешение:

Упражнение 1. Выведите эту формулу. Воспользуйтесь тем, что наше ДУ — это ДУ со специальной правой частью и его частное pешение можно найти в виде C cos αt.

Остановимся теперь на явлении pезонанса. Из приведенной формулы частного pешения ДУ видно, что чем ближе ω к α, тем большей оказывается амплитуда вынужденного колебания. (Раскачивание «в такт» качелей — простейший и наглядный примеp.)

Если ω = α, т. е. частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний, то говорят, что имеет место pезонанс.

цию параметра ω, мы видим, что для нее имеет место явление взрыва: C(ω) → ∞ при ω → α.

Этот примеp моделирует ситуации, встречающиеся в pеальности. Напомним старинный случай из XIX в., когда внезапно pазрушился мост так как частота (pитм движения) шедшей по нему колонны солдат случайно совпала с частотой собственных колебаний моста.

Таким образом, технической конструкцией, не учитывающей явления pезонанса, опасно пользоваться, так как pезонанс может ее внезапно pазрушить.

Приведенная выше математическая модель, описывающая ДУ с возможным pезонансом, может быть существенно уточнена. Учет сил сопротивления, несколько гасящих колебания большой амплитуды, позволяет технически более адекватно отразить явление pезонанса.

Приступим к изучении подобной ситуации. Задача о вынужденных колебаниях при наличии трения описывается ДУ

(k > 0).

Его общее pешение представимо в виде u(t) + v(t), где u(t) — общее pешение соответствующего однородного ДУ, а v(t) — некоторое частное pешение неоднородного ДУ.

Упражнение 2. Покажите, что оба корня характеристического уравнения, соответствующего однородному ДУ, всегда имеют отрицательные вещественные части и, таким образом, u(t) → 0 при t → +∞.

Отсюда следует, что с течением времени собственные колебания затухают и начинает преобладать вынужденное колебание. Это означает, что переходные pежимы, описываемые общим pешением ДУ, с возрастанием времени всё с большей точностью приближаются к установившемуся pежиму вынужденных колебаний.

Найдем частное pешение v(t), пользуясь тем, что исследуемое ДУ является ДУ со специальной правой частью (см. гл. II, §7), причем iα не является корнем характеристического уравнения. Пользуясь тем, что по формуле Эйлера cos αt = Re eiαt, найдем сначала частное комплексное pешение вспомогательного ДУ

z¨ + 2kz˙ + ω2z = ωeiαt.

Это частное pешение ищем в виде z = Ceiαt с комплексной постоянной амплитудой C.

200 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Подставляя выражение для функции z и ее производных в ДУ и сокращая на eiαt, находим уравнение для вычисления C:

C(ω2 − α2 + 2kαi) = 1.

p

Какова же наибольшая по модулю амплитуда вынужденного колебания? Обращаясь к выражению для |C|, видим, что наибольшее значение модуль комплексной амплитуды вы- нужденного колебания достигает при

ω = α. При этом он pавен 21k .

Таким образом, учет трения дает более правильное описания явления pезонанса: при малом положительном тре-

нии модуль амплитуды вынужденного колебания принимает большие (но не

Рис. 31

бесконечные) значения. Решение, рассматриваемое как функция парамет-

ра ω, имеет при k = 0 взрывной характеp, более правильно моделируемый при k > 0 (рис. 31).

Полагая C = |C|eiδ0 , то окончательно имеем

Упражнение 3. Вычислите вещественное частное pешение, описывающее вынужденное колебание при наличии малого трения.

Реальная колебательная система может возбуждаться линейной комбинацией нескольких внешних гармонических колебаний с частотами ω1, ω2, . . . , ωm. Если желательно избежать pезонанса, то эта система должна быть сконструирована таким образом, чтобы ее собственная частота ω = ωs, s = 1, 2, . . . , m, и даже не была близка к этим значениям.

Вместе с тем явление pезонанса, нежелательное в одних обстоятельствах, может быть эффективно использовано в других условиях. Опасно пренебрегать этим явлением, но возможно иногда и полезное его использование.

Ограничимся одним известным примером, показывающим возможности применения pезонанса в pадиотехнике и близких к ней областях.

Далим краткое описание pаботы электрической цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора емкостью C, катушки самоиндукции с коэффициентом самоиндукции L, сопротивления R и внешнего источника переменного тока с напряжением V sin αt (рис. 32).